特征根法求通项公式

特征方程法 解递推关系中 通项公式 一、（一阶线性递推式）若已知数列}{na的项满足dcaabann11,,其中,1,0cc求这个数列的通项公式。 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,dcxx称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理 1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10ax 时，na 为常数列，即0101,;xbaaxaannn时当，其中}{nb是 以c 为 公比 的等 比 数列，即01111,xabcbbnn. 证 明 ： 因 为,1,0c由 特征方程得.10cdx作 换 元,0xabnn则.)(110011nnnnnncbxacccdcacddcaxab 当10ax 时，01 b，数列}{nb是以c 为公比的等比数列，故;11nncbb 当10ax 时，01 b，}{nb为 0 数列，故.N,1naan（证毕） 下面列举两例，说说说说明定理 1 的应用. 例 1．已知数列}{na满足：,4,N,23111anaann求.na 解：作方程.23,2310xxx则 当41 a时，.21123,1101abxa 数列}{nb是以31为公比的等比数列.于是.N,)31(2112323,)31(211)31(1111nbabbnnnnnn 例 2．已知数列}{na满足递推关系：,N,)32(1niaann其中i 为虚数单位。当1a 取何值时，数列}{na是常数数列？ 解：作方程,)32(ixx则.5360ix要使na 为常数，即则必须.53601ixa 二、（二阶线性递推式） 定理 2：对于由递推公式nnnqapaa12，21,aa给出的数列 na，方程02qpxx，叫做数列 na的特征方程。 若21, xx是特征方程的两个根，当21xx 时，数列 na的通项为1211 nnnBxAxa，其中A，B 由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入1211 nnnBxAxa，得到关于A、B 的方程组）；当21xx 时，数列 na的通项为11)(nnxBAa，其中A，B由21,aa决定（即把2121,,,xxaa和2,1n，代入11)(nnxBAa，得到关于A、B 的方程组）。 例3：已知数列 na满足),0(0253,,1221Nnnaaabaaannn，求数列 na的通项公式。 解法一（待定系数——迭加法） 由025312nnnaaa，得 )(32112nnnnaaaa...