王进明初等数论习题详细解答2013.5第九版(可打印版)

王进明 初等数论 习题及作业解答 P17 习题1-1 1，2(2)(3), 3，7，11，12 为作业。 1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数. 解：1226,1226454,abab12261226454,bb (121)454122626390,bb=30, 被除数a=12b+26=360. 这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题： 商为12,表明被除数减去余数后是除数的12 倍，被除数减去余数后与除数相加的和是除数的（12+1）倍，即454122626390是除数的13 倍. 2．证明：(1) 当 n∈Z 且39(09)nqrr时，r 只可能是0,1,8; 证：把 n 按被9 除的余数分类，即：若 n=3k, k∈Z，则3327nk, r=0； 若 n=3k +1, k∈Z，则3322(3 )3(3 )3(3 ) 19 (331)1nkkkkkk ,r=1 ； 若 n=3k－1, k∈Z，则33232(3 )3(3 )3(3 ) 19(331)8nkkkkkk ,r=8. (2) 当 n∈Z 时，32326nnn的值是整数。 证 因为32326nnn=32236nnn，只需证明分子3223nnn是6 的倍数。 32223(231)(1) (21)nnnnnnnnn (1) (21)nn nn= (1)(2)n nn (1) (1)nn n. 由 k! 必整除k 个连续整数知：6 | (1)(2)n nn,6 |(1) (1)nn n. 或证：2!|(1)nn, (1)nn必为偶数.故只需证 3|(1) (21)nnn. 若 3|n, 显然 3|(1) (21)nnn；若 n 为3k +1, k∈Z，则 n－1 是3 的倍数，得知(1) (21)nnn为3 的倍数；若 n 为3k－1, k∈Z，则 2n－1=2(3k－1)－1=6k-3, 2n－1是3 的倍数. 综上所述，(1) (21)nnn必是6 的倍数,故命题得证。 又证：(1) (21)6nnn=02+12+22+…+(n-1)2,整数的平方和必为整数。 当 n∈Z－时，-n∈Z+, 从而同样推得(1) (21)6nnn为整数，故命题得证。 (3) 若 n 为非负整数，则 133|(11n+2+122n+1)． 证明：利用11n+2+122n+1=121× 11n +12× 144 n =133× 11n +12× (144 n－11 n)及例5 的结论． (4)当m，n，l∈N+时，()!! ! !mnlm n l的值总是整数 证明：()!mnl=()(1)(1)()(1)(1)!mnl mnlnlnl nlll    由 k!必整除 k 个连续整数知：!| ()(1)(1)mmnl mnlnl  , n! |()(1)(1)nl nll ，从而由和的整除性即证得命题。 (5)当a，b∈Z...