专题 28纵观全局——整体思想阅读与思考解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有：1. 整体观察2. 整体设元3. 整体代入4. 整体求和5. 整体求积注：既看局部，又看整体；既见“树木”，又见“森林”，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而有效的方法．例题与求解【例 1】某市抽样调查了 1000 户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是 38000 元。由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这 1000 户的平均年收入比实际平均年收入高出了 342 元，则输入计算机的那个错误数据是．（北京市竞赛题）解题思路：有 1000 个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元．注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知与未知的辅助的作用，因此可“设而不求”，通过整体考虑，直接获得问题的答案．【例 2】设a、b、c 是不全相等的任意数，若x a bc, y b ac, z c ab ，则x、y、z （）（全国初中数学联赛试题）A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零解题思路：由于a、b、c 的任意性，若孤立地考虑x、y、z ，则很难把握的x、y、z 正负性，应该考虑整体求出 x y z 的值．2222a5 3a4 3a3 9a2 5a 1【例 3】如果 a 满足等式2a 3a 1 0 ，试求的值．3a 12(天津市竞赛题)解题思路：不能直接求出a 的值，可寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代入求值．注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现．【 例 4 】 已 知 x 2, y 4 ， 代 数 式 ax 311by 5 1997 ， 求 当 x 4, y 时 ， 代 数 式223ax 24by3 4986 的值．（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：a、b 的值无法求出，将给定的 x...
