初中奥林匹克数学竞赛知识点总结及训练题目-最值

初中数学竞赛辅导讲义-求最值在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即：对于 y  ax 2  bx  c （ a  0 ）4ac b 2b(1)若 a>0，则当 x  时， y 最小值；4a2a4ac b 2b(2)若 a<0，则当 x  时， y 最大值．4a2a【例题求解】【例 1】设 a、b 为实数，那么a 2  ab  b 2  a  2b 的最小值是．思 路 点 拨将 原 式 整 理 成 关 于 a 的 二 次 多 项 式 从 配 方 法 入 手 ； 亦 可 引 入 参 数 设a 2  ab  b 2  a  2b  t ，将等式整理成关于 a 的二次方程 a 2  (b 1)a  (b2  2b t)  0 ，利用判别式求最小值．【例 2】若 x 1  y 1z  2 ，则 x 2 y 2z 2 可取得的最小值为()23599C．D．6142A．3B．思路点拨设 x 1  y 1z  2222 k ，则 x y z 可用只含 k 的代数式表示，通过配方求最231小值．【例 3】 设 x1 、x2 是方程 2x 2  4mx  2m2  3m  2  0 的两个实根，当 m 为何值时，x12  x22有最小值，并求这个最小值．思路点拨由韦达定理知 x12  x22 是关于 m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：(1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．【例 4】 甲、乙两个蔬菜基地，分别向A、B、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按...