1 第七章 多元函数微积分 学习目的和要求 学习本章，要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念、偏导数的求导法则及利用偏导数讨论多元函数的极值、最大值和最小值，学会使用拉格朗日乘数法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题，了解二重积分的数学含义，学会计算一些简单的二重积分． 第一节 多元函数 1．二元函数 设有 3个变量 如果当变量 在一定的范围 D内任意取定一对值时，变量 z按照一定的规律，总有确定的数值和它们对应，则变量 z叫做变量 的二元函数．记作 或称为自变量，D称为定义域，z为因变量． 类似地，可以定义三元函数及更多元函数，二元以及二元以上的函数称为多元函数． 2．二元函数的极限 设函数 的某一邻域内有定义， 是该邻域内异于 的任意一点．如果点 以任何方式趋近于 时，函数的对应值 趋近于一个确定的常数A，我们就说 时的二重极限，记作 或 3．二重极限和二次极限 2 对于二元函数 的极限，可得极限函数 ，这个极限称为二次极限，记为 . 4．有界闭区域上多元连续函数的性质(不作证明) 有最大最小值定理、中间值定理、有界性定理、零点存在定理． 第二节 偏 导 数 1．定义 设函数 的某一邻域内有定义.当 固定在 时，相应地函数有增量 如果极限 存在，则称此极限值为函数 在点 的偏导数，记作 类似地，可定义函数 的偏导数。 2．求导法则 (1)和：设 (2)积：设 则 3 (3)商：设 3．高阶偏导数 高阶偏导数可定义为相应的低一阶偏导数的偏导数 例如： 第三节 全 微 分 二元函数全微分的定义 若二元函数 的全增量 可表示为 其中 的高阶无穷小量，则称函数 可微，并称 在点(x,y)的全微分. 进一步讨论可知： 故得 关于二元函数，有如下结论：若 及其某一邻域内存在，且在该点连续，则函数在该点可微． 第四节 多元复合函数求导法则、隐函数求导公式 4 1. 设函数 的函数， .若成立条件： (1)在点 处存在编导数 (2) 的相应点可微，则有 2．隐函数求导公式 设函数 的某一邻域内具有连续的偏导数， 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 它满足条件 ,偏导数可由 即 来确定. 第五节 多元函数偏导数的应用 1．多元函数的极值 5 设函数 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 如果都有 ，则称函数在点( )有极大值 反之，若成立 ，则称函数在点 有极小值 .使函数取得极值的点称为极值点． (1)...
