双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点间的距离|F1F2|叫焦距。2. 双曲线的第二定义:平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e(e>1)的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线,常数e 叫双曲线的离心率。当曲线上一点沿曲线无限远离原点时,如果到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。无限接近,但不可以相交。x2y 2例 1. 方程()1表示双曲线,则k 的取值范围是1 k1 kA. 1 k 1B. k 0C. k 0D. k 1或 k 13. 双曲线的标准方程:x 2y 2(1)焦点在 x 轴上的:2 2 1 (a 0,b 0)aby 2x 2(2)焦点在 y 轴上的:2 2 1 (a 0,b 0)ab(3)当 a=b 时,x2-y2=a2 或 y2-x2=a2 叫等轴双曲线。注:c2=a2+b25【例 2】求虚轴长为 12,离心率为双曲线标准方程。4【例 3】求焦距为 26,且经过点 M(0,12)双曲线标准方程。练习。焦点为0,6()y 2x 2B.11224y 2x 2C.12412x 2y 2D.12412x 2y 2A.11224x 2,且与双曲线 y 2 1有相同的渐近线的双曲线方程是2x2y21有公共渐进线,且经过点 A 3,2 3【例 4】与双曲线 916练习。求一条渐近线方程是 3x 4y 0 ,一个焦点是4,0的双曲线标准方程,并求此双曲线的离心率.解决双曲线的性质问题,关键是找好等量关系,特别是 e、a、b、c 四者的关系,构造出e 和c2 a2 b2 的关系式。ca4. 双曲线的几何性质:x 2y 2(1)焦点在x轴上的双曲线2 2 1 (a 0,b 0)的几何性质:abyF1 A1OA2 F2x 1 范围:x a,或x a<2>对称性:图形关于 x 轴、y 轴,原点都对称。<3>顶点:A1(-a,0),A2(a,0)线段 A1A2 叫双曲线的实轴,且|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫双曲线的虚轴,且|B1B2|=2b。c (e 1)e 越大,双曲线的开口就越开阔。 4 离心率:e ab 5 渐近线:y = xaa 2 6 准线方程:x c5.若双曲线的渐近线方程为: y b xa则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成:x 2y 22 ...