经济数学---微积分教案 山 东 女 子 学 院 1 第二节 二重积分的计算 教学目的：掌握二重积分的计算方法，能正确计算二重积分 教学重点： 二重积分计算 教学难点： 利用极坐标计算二重积分、应用 教学时数：6 教学内容： 一般情况下，直接利用二重积分的定义计算二重积分是非常困难的，二重积分的计算可以归结为求二次定积分（即二次积分）。现在我们由二重积分的几何意义导出二重积分的计算方法。 一、利用直角坐标系计算二重积分 若二重积分存在，和式极限值与区域 D 的分法无关，故在直角坐标系下我们用与坐标轴平行的两组直线把 D 划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形（如图所示），于是小矩形的面积yx ，因此在直角坐标系下，面积元素为： dx dyd 于是二重积分可写成 Ddyxf),(Ddx dyyxf),( 现在，我们根据二重积分的几何意义，结合积分区域的几种形状，推导二重积分的计算方法。 1．积分区域 D 为： bxa，)()(21xyx 其中函数)(1 x，)(2 x在],[ ba上连续（如图所示）。 经济数学---微积分教案 山 东 女 子 学 院 2 不妨设0),(yxf，由二重积分的几何意义知，Ddxdyyxf),(表示以D 为底，以曲面),(yxfz 为顶的曲顶柱体的体积（如图所示）．我们可以应用第五章中计算“平行截面面积为巳知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积． 先计算截面面积。在区间],[ba中任意取定一点0x ，过0x 作平行于 yoz 面的平面0xx ，这个平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间)](),([0201xx为底，曲线),(0 yxfz 为曲边的曲边梯形（图中阴影部分），其面积为 )()(000201),()(xxdyyxfxA 一般地，过区间],[ba上任意一点 x 且平行于 yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 )()(21),()(xxdyyxfxA 于是，由计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为 babadxxAV[)()()(21),(xxdyyxfdx] 即 Ddxdyyxf),(ba[ )()(21),(xxdyyxfdx] 上式右端是一个先对 y、再对 x 的二次积分．就是说，先把 x 看作常数，把),(yxf只经济数学---微积分教案 山 东 女 子 学 院 3 看作y 的函数，并对y 计算从)(1 x到)(2 x的定积分，然后把所得的结果（是x 的函数）再对x 计算从a 到b 的定积分．这个先对y、再对x 的二次积分也常记作 badx )()(21),(xxdyyx...
