1 第二章 单自由度系统的自由振动 第一节 导引 单自由度系统（Single-Degree-Freedom sy stems）是最简单的振动系统，又是最基本的振动系统。这种系统在振动分析中的重要性，一方面在于很多实际问题都可以简化为单自由度系统来处理，从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题；另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性，实际上，它是对多自由度系统、连续系统进行振动分析的基础。 所研究的振动都是微幅振动问题（微振动）。所谓微振动是指系统受到外界干扰后，系统各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复振动。系统在振动过程中所受到的各种力将认为只与位移、速度等成线性关系，可以忽略可能出现的高阶微小量。例如单摆，其运动微分方程为 2sin0m lm gl sin0gl 把单摆作为线性系统研究，则令 sin 故有 0gl .lmm g 2 第二节 无阻尼自由振动的运动微分方程及其解 自由振动（free v ibration）是指在外界干扰下依靠系统本身的弹性恢复力所维持的振动。 一、运动方程及其解 0lmgmm ox()kx k 最简单的单自由度振动系统-----有一个质量m和一根弹簧（弹簧的刚度系数为k ，它是弹簧每伸长或缩短一个单位长度所需施加的力，单位为Nm ）组成的弹簧质量系统。 弹簧原长为 0l 。当系统在没有振动时，系统处于平衡状态，称为静平衡。此时，系统在重力的作用下产生拉伸变形，称为系统的静变形。由静力平衡条件有 mgk 当系统受到外界某种初始扰动（例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或给质量块以突然一击使之得到一个初始速度），使系统的静平衡状态遭到破坏，则弹簧力不再与重力平衡，从而产生不平衡的弹性恢复力，系统就依靠这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动，称为自由振 3 动。 建立坐标系：取静平衡位置为坐标原点，用x表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移，且规定x方向向下为正。质量块在振动过程中任一瞬时位置的受力： 不变的重力：Wmg 弹簧力 ： ()kx 根据牛顿运动定律，有 ()mx mgkx 则有 0mx kx （2 -1 ） 单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程。 两点讨论： （1 ）质量块的重力只对弹簧的静变形 有影响，即Wmg的大小只改变质量块的静平衡位置，而不影响质量块在静平衡位置附近作振动的规律。因此，当取静平衡位置为坐标原点建立运动微分方程时，在方程式（2 -1 ）...
