第五公设与平行公理的等价证明

1 第6 章 几何公理法简介 6.3 第五公设问题 6.3.1 普雷菲定理 1 7 9 5 年普雷菲提出一条跟欧氏第五公设等价的命题，它的直观明显性比第五公设好些，通称欧几里得几何平行公理：通过直线外一点有唯一直线与该线平行． 先证第五公设蕴涵平行公理． 设 u 为平面上一已知直线，M 是不在u 上的任一已知点，求证有唯一直线通过M 而与u 不相交． 作uMN 于点N ，用'u 表示在M 与 MN 垂直的直线，则'u 不可能与u 相交，否则MNuu,,'将构成一三角形，与外角定理矛盾．平行线的存在性证明了．再设''u 是通过M 与'u 相异的任一直线，那么''u 必然在直线MN 的某一侧跟MN 组成锐角．应用眼前的假设第五公设于两直线'',uu及截线MN ，可知''u 必与u 在这一侧相交． 再证平行公理蕴涵第五公设． 设直线ba,被直线c 所截，在c 一侧的内角之和 d212  （ d 表直角）， 从而另一侧内角和 d221 ． 通过a 跟 c 的交点引直线'a ，使其与c 所成的角'2'1 ,满足 dd2,22'11'2． 于是12'12 d， 所以ba '， 因为若'a 跟 b 相交，要得出与外角定理相矛盾的结果． 由假设通过ca,的交点只有一直线与b 平行，所以与'a 相异的直线a 必与b 相交．还要证明a 和 b 相交于2 和1 所在的一侧，这可从1212 d以及外角定理立即得出． 6.3.2 萨开里的试证 1 7 3 3 年意大利数学家萨开里出版了名为《免除一切污点的欧几里得》， 这里 “欧几里得”指《原本》．在这里他对第五公设的试证工作发展得相当远，得到一系列结果．如果在关键 2 的时刻他再推进一步，高斯、波里埃和罗巴切夫斯基的发现就可提前一世纪．他的后继人也没做这样的工作．似乎他的工作被人遗忘了．后来意大利有名的数学家倍尔脱拉米（1 8 3 5——1 9 0 0 年）才指出，一般归之于勒戎得、罗巴切夫斯基、波里埃的一些定理，萨开里已发现过了． 他讨论一种四角形被称为“萨开里四角形”，两下底角是直角，两侧边相等： .,dBABDAC 定理 1 在四边形CABD 中，若 dBA且BDAC ，则 .DC 证明 我们只需取下底 AB 的中垂线 KL 为对称轴折叠即得． 由此推出 LDCLdKLDKLC, 即是说：萨开里四角形两底中点的联线是两底的中垂线． 定理 2 设四边形 ABCD 中dBA，且BDAC ，则DC． 证明 延长 AC...