27届物理竞赛复赛试题答案

1 2010 年第27 届全国物理竞赛复赛试题答案 一、参考解答： 1．以il表示第i 个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即 iii402πlTgN （Ni 为正整数） （1） [(1)式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.]由(1)可得，各单摆的摆长 i22i400πglN （2） 依题意，i0.450m1.000ml，由此可得 i2020ππ0.45ggN （3） 即 i2029N （4） 因此，第i 个摆的摆长为 i22400π (19i)gl  (i1, 2,,10) （5） i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 li/m 0.993 0.901 0.821 0.751 0.690 0.635 0.588 0.545 0.507 0.472 2．20s 评分标准：本题 15 分． 第1 小问 11 分．（2）式 4 分，（4）式 4 分，10 个摆长共 3 分． 第2 小问 4 分． 2 二、参考解答： 设该恒星中心到恒星－行星系统质心的距离为d ，根据题意有 2Ld （1） 将有关数据代入（1）式，得AU1053d．又根据质心的定义有 Mdr dm （2） 式中r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有 222πMmGMdrT （3） 由（2）、（3）两式得 23224π1mdG TM m （4） [ 若 考 生 用 r表 示 行星到恒星 行星系统质心的距离，从 而 把 (2) 式写 为Mdrm，把 (3) 式写 为222πMmGMdTr d，则同样可得到(4)式，这也是正确的.] 利用（1）式，可得 3222π21LmGTM m （5） （5）式就是行星质量m 所满足的方程． 可以把(5)试改写成下面的形式 33222π21m MLGMTm M （6） 因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得 3S22(1AU)(1y)4πGM （7） 注意到SMM，由（6）和（7）式并代入有关数据得 3102S8.6 101Sm Mm M (8) 由（8）式可知 S1mM 3 由近似计算可得 3S1 10mM  （9） 由于m M 小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即 3322(1AU)(1y)rT （10） 代入有关数据得 5AUr （11） 评分标准：本题 20 分． （1）式 2 分，（2）式 3 分，（3）式 4 分，（5）式 3 分，（9）式 4 分，（11）式 4 分． 4 三、参考解答： 解法一 一倾角为 的直角三角形薄片(如图1 所示)紧贴于半径为R 的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角...