2矩阵典型习题解析

2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由 m×n 个数),,2,1;,,2,1(njmiaij组成的m 行 n 列的矩形数表 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 称为m×n 矩阵，记为nmijaA)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1 的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mnijmnijbBaA)(;)( 若 ),,2,1;,,2,1(njmibaijij，则称 A 与B 相等，记为A=B。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设mnijmnijbBAA)(,)(，则mnijijbaBAC)( （2）运算规律 ① A+B=B+A； ②（A+B）+C= A+（B+C） ③ A+O=A ④ A+（-A）= 0， –A 是 A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mnijaA k 为常数，则mnijkakA)( （2）运算规律 ① K (A+B) = KA+KB, ② (K+L)A= KA+LA, ③ (KL) A= K (LA) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(npijmnijbBaA则 ,)(mpijCCAB其中nkkjikijbaC1 （2）运算规律 ①)()(BCACAB；②ACABCBA)( ③CABAACB)( （3）方阵的幂 ①定义：Anija )(，则KkAAA ②运算规律：nmnmAAA；mnnmAA)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BAAB  ②;00,0BAAB或不能推出 ③kkkBAAB)( 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵 A=mnija )(，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵 A的转置，记为nmaAjiT)(， （2）运算规律 ①;)(AATT ②TTTBABA)(； ③;)(TTKAkA ④TTTABAB)(。 （3）对称矩阵与反对称矩阵 若,AAT 则称A 为对称阵； AAT，则称A 为反对称阵。 5．逆...