37一阶线性方程与常数变易法

2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equation and constant variation formula ) [教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子. [教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程. [教学方法] 自学1、4；讲授 2、3 课堂练习 [考核目标] 1. 熟练运用常数变易公式; 2. 知道dxbx sin eax计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程. 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation） (1) 称形如y p(x)dxdy 的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如q(x)y p(x)dxdy的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y 时，改写y p(x)dxdy 为 1Cdx p(x)|y|ln ,dx p(x)ydy dx, p(x)ydy，其中 dx p(x)表示 P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dxdy 通解(general solution)为1Cp(x)dxeC~ ,eC~y，此外 y=0 也是解. 综上，y p(x)dxdy 的解为C ,e Cyp(x)dx为任意常数. (3) 常数变易法：如何求q(x)y p(x)dxdy的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 p(x)dxe C(x)y，则代入原方程来确定C(x)， q(x)p(x)C(x)ee p(x) C(x)e (x)' Cdxdyp(x)dxp(x)dxp(x)dx， 即q(x)e (x)' Cp(x)dx ，Cq(x)dxeC(x) q(x), e (x)' Cp(x)dx-p(x)dx，此处 C 为任意常数, q(x)dxep(x)dx-为函数 q(x)ep(x)dx-一个原函数. 综上，一阶线性非齐次方程的通解为 q(x)dxeeCe C)q(x)dxe(e y(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx. 2. 一些实际应用例子（Applications ） 例 28. 电容器的充电和放电模型 RC 电路：假定开始电容 C 上没有...