3第三章流体运动学

19 第三章 流体运动学 3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =aekt，y =be-kt，z =c，式中k 是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。 解：（1）由题给条件知，流体质点在 z=c 的平面上运动，消去时间 t 后，得 xy=ab 上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a，b）,则为一确定的双曲线。 （2）0ktktxyzxyzukaeukbeuttt ，， （3）220yktktxzxyzuuuak aeak beattt，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为ux =kx，uy =－ky，uz =0，式中k 是不为零的常数。试求流场的加速度。 解：2ddxxxxxxxyzuuuuuauuuk xttxyz 2ddyyuak yt，d0dzzuat 3－3 已知ux =yzt，uy =zxt，uz =0，试求t =1 时流体质点在（1，2，1）处的加速度。 解：2()3m/sxxxxxxyzuuuuauuuyzzxt zttxyz 2()3m/syyyyyxyzuuuuauuuzxyzt zttxyz 0zzzzzxyzuuuuauuutxyz 3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为ux =1－y，uy =t。试求（1）t =0 时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t =1 时，过（0，0）点的流线方程。 解：（1）迹线的微分方程式为ddddddddddyxyxyxyxytttyutt tuuuu======，，，， 积分上式得：122Cty，当 t=0 时，y =0，C1=0，所以 22ty  (1) 2dd(1)d(1)d2xtxutytt==-=-，积分上式得：236Cttx 当 t=0 时，x=0，C2=0，所以 63ttx (2) 消去（1）、（2）两式中的t，得3( 2 )26yxy，有理化后得 023492223xyyy （2）流线的微分方程式为ddddd(1)d1，即，xyxyxyt xyyuuyt，积分上式得 20 Cyytx)2(2 当t=1 时，x=y=0，C=0，所以可得：)2(12yytx（为非恒定流） 3－5 已知ux ＝x＋t，uy ＝－y＋t，uz ＝0，试求t ＝2 时，通过点A（－1，－1）的流线，并与例3－3 相比较。 解：由例3－3 可得：()()xtytC  当t=2，x=－1，y=－1，C=3。因此，通过点A（－1，－1）的流线为 3)2)(2(yx 上式不同于例3－3，即当t=0 时通过A 点的流线为xy＝1，说明不同时刻的流线不同。 3－6 试求例3－6 流体运动的流线方程和流体质点通过点A（1，0）流线的形状。 解：例3－6 流体运动如题3-6 图所示 22yxkyu...