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3第三章流体运动学

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19 第三章 流体运动学 3-1 已知流体质点的运动,由拉格朗日变数表示为 x =aekt,y =be-kt,z =c,式中k 是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。 解:(1)由题给条件知,流体质点在 z=c 的平面上运动,消去时间 t 后,得 xy=ab 上式表示流体质点的迹线是一双曲线族:对于某一给定的(a,b),则为一确定的双曲线。 (2)0ktktxyzxyzukaeukbeuttt ,, (3)220yktktxzxyzuuuak aeak beattt,, 3-2 已知流体运动,由欧拉变数表示为ux =kx,uy =-ky,uz =0,式中k 是不为零的常数。试求流场的加速度。 解:2ddxxxxxxxyzuuuuuauuuk xttxyz 2ddyyuak yt,d0dzzuat 3-3 已知ux =yzt,uy =zxt,uz =0,试求t =1 时流体质点在(1,2,1)处的加速度。 解:2()3m/sxxxxxxyzuuuuauuuyzzxt zttxyz 2()3m/syyyyyxyzuuuuauuuzxyzt zttxyz 0zzzzzxyzuuuuauuutxyz 3-4 已知平面不可压缩液体的流速分量为ux =1-y,uy =t。试求(1)t =0 时,过(0,0)点的迹线方程;(2)t =1 时,过(0,0)点的流线方程。 解:(1)迹线的微分方程式为ddddddddddyxyxyxyxytttyutt tuuuu======,,,, 积分上式得:122Cty,当 t=0 时,y =0,C1=0,所以 22ty  (1) 2dd(1)d(1)d2xtxutytt==-=-,积分上式得:236Cttx 当 t=0 时,x=0,C2=0,所以 63ttx (2) 消去(1)、(2)两式中的t,得3( 2 )26yxy,有理化后得 023492223xyyy (2)流线的微分方程式为ddddd(1)d1,即,xyxyxyt xyyuuyt,积分上式得 20 Cyytx)2(2 当t=1 时,x=y=0,C=0,所以可得:)2(12yytx(为非恒定流) 3-5 已知ux =x+t,uy =-y+t,uz =0,试求t =2 时,通过点A(-1,-1)的流线,并与例3-3 相比较。 解:由例3-3 可得:()()xtytC  当t=2,x=-1,y=-1,C=3。因此,通过点A(-1,-1)的流线为 3)2)(2(yx 上式不同于例3-3,即当t=0 时通过A 点的流线为xy=1,说明不同时刻的流线不同。 3-6 试求例3-6 流体运动的流线方程和流体质点通过点A(1,0)流线的形状。 解:例3-6 流体运动如题3-6 图所示 22yxkyu...

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