4.高阶微分方程与微分方程组

§4 高阶微分方程与微分方程组 一、 高阶微分方程与微分方程组的互化 已给一个n阶方程  yf x y y yynn, ,,,,1 设y1=y,y2=y',y3=y",…,yn=y(n-1)，那末解上面n阶微分方程就相当于解下面n个一阶微分方程的方程组 nnnnyyyxfxyyxyyxyyxy,,,,dddddddd2113221 式中y1,y2,…,yn看作自变量x的n个未知函数. 反过来，在许多情况下，已给n个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n阶微分方程.比如，两个一阶微分方程的方程组 21222111,,dd,,ddyyxfxyyyxfxy (1) 将方程(1)对x求导数 2211111212ddfyffyfxfxy 记作 21212,,ddyyxFxy  (2) 从方程(1)中解出y2 yyx yy2211,, 代入方程(2)的右边，就得到一个二阶微分方程 11212,,ddyyxxy 这里函数 11,,yyx由函数f1，f2所确定，因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程. 二、 高阶微分方程的几种可积类型及其解法 1. y(n) = f(x) 将方程写成  xfyxn1dd 积分后得到  110dcxxfyxxn  重复这一过程到积分n次，就得到微分方程的通解：    nnnnxxnnnnnxxnnxxcxxcnxxcnxxcdfxncxxcnxxcnxxcdxxfy01202101101202101!2!1!11!2!1000 2. F(x,y(n) )=0 1 若能解出y(n)，则方程化成类型1求解. 2 若不能解出y(n)，或解出后表达式太复杂，就设法求它的参数形式的解： 设函数(t),(t) (