1 §6几何不等式 几何中表示量的不等关系的式子叫做几何不等式.几何不等式就其形式来说分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类.下面给出一些基本的几何不等式性质. (1) 在三角形中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (2) 在同一个三角形中,大边对大角,小边对小角;反之也成立. (3) 两组对边对应相等的两个三角形中,夹角大的第三边也大;反之也成立. (4) 三角形内任一点到两顶点的距离之和小于另一顶点到这两个顶点的距离之和. (5) 三角形一边上的中线小于另外两边之和的一半. (6) 在△ABC中,点P是边BC上任意一点,则有 PA≤max{AB,AC}, 当点P与点B或C重合时,等号成立. 在解决几何不等式问题时,经常要用到一些已经学过的基本定理和已经证明过的结论,运用不等式的基本性质,通过几何、三角、代数等解题方法进行计算和证明.同时,还需考虑几何图形的特点和性质. 1、与线段有关的不等式问题 例1、已知BC是△ABC的最长边,O是△ABC内部任意一点,直线OA、OB、OC分别交对边于点1A 、1B 、1C .证明: (1)1OA +1OB +1OC XS=1OC .同理,CY>YT=1OB . 故BC=XY+BX+YC>1OA +1OB +1OC . (2)设11OAAA =x , 11OBBB =y , 11OCCC =z . 则 x+y+z=OBCABCSS+OCAABCSS+OABABCSS=1. 故1OA +1OB +1OC =x1AA +y1BB +z1CC ≤(x+y+z)max{1AA ,1BB ,1CC } =max{AA1 ,BB1 , CC1 }. 说明:其实,(2)比(1)更强,由(2)可以推得(1). 例2、如图2,在△ABC中,∠B=2∠C.求证:AC<2AB. 2 证明:延长CB至D,使得DB=AB.则有∠D=∠BAD,∠ABC=2∠D. 由题设知∠ABC=2∠C.所以,∠D=∠C.故AD = AC. 在△ABC中,因为DB+AB>AD,即2AB>AD,所以,AC<2AB. 说明:(1)把问题中的不等量尽量集中到一个三角形(或者 两个具有紧密关系的三角形) 中,利用三角形中的线段不 等关系(或角的不等关系)解决问题.这是一种常用的解题 思路. (2)若将题中的“∠B=2∠C”改为“∠B=n∠C”,可以得到相似的结论:在△ABC中, 若∠B=n∠C(n是不小于2的正整数),则AC≤nAB . 例3、已知P是△ABC内任一点.(1)求证:...
