信息与计算科学系第8章时间序列数学建模算法与应用信息与计算科学系3数学建模8.4ARIMA序列与季节性序列前面介绍了平稳时间序列的建模与预报，在实际中遇到的时间序列往往有三个特性：趋势性、季节性与非平稳性。本节主要采用Box－Jenkins方法，即差分方法，有时还要用时间序列的变换方法，消除其趋势性、季节性，使得变换后的序列是平稳序列，并假设为ARMA序列，再用上面介绍的方法去研究。信息与计算科学系4数学建模•如何使用ARMA模型来考察非平稳单位根过程数据的动态性呢？•一种简单的方法就是：首先对单位根变量进行差分，使之变为平稳数据，然后对差分后的平稳数据使用ARMA模型进行分析。这种情形下的ARMA模型就成为ARIMA模型。•如：ARIMA(2,1,3)，其中2表示自回归的阶数，3表示移动平均的阶数，1则表示差分的数次。ARIMA模型信息与计算科学系5数学建模ARIMA(p,d,q)：对原序列Xt作d阶差分后应用ARMA(p,q)ARMA模型与ARIMA模型的区别信息与计算科学系6数学建模d的确定：差分后检查自相关函数，确定序列是否平稳，直到平稳为止。p、q的确定：由自相关函数、偏自相关函数确定，或由AIC、SC准则确定。ARIMA模型的确认若自回归过程的阶数为p，则对于j>p应有偏自相关函数αj≈0若移动平均过程的阶数为q，则对于j>q应有自相关函数ρj≈0AIC准则:选择使准则值达到最小的模型阶数。信息与计算科学系7数学建模关于算子多项式(),()BB，通常还要作下列假定（1）()B和()B无公共因子，又0p，0q；（2）()0B的根全在单位圆外，这一条件称为模型的平稳性条件；（3）()0B的根全在单位圆外，这一条件称为模型的可逆性条件。信息与计算科学系8数学建模8.4.1ARIMA序列及其预报我们先看一个例子。考虑研究时间序列{,0,1,2,}tXt，满足121.50.5ttttXXX，（8.42）改写为()ttBX，其中2()11.50.5BBB。()0B的根是11B，22B，其中11B在单位圆周上，并非在单位圆外，即原序列非平稳，因而不是AR(2)序列。但若改写式（8.42）为112()0.5()tttttXXXX，信息与计算科学系9数学建模令1ttttXXXW，（8.43）则有10.5tttWW，tW是AR(1)序列。式（8.43）定义的运算称为1阶向后差分运算。经过这样的1阶差分运算，原来的非平稳序列tX转化为平稳序列tW。信息与计算科学系10数学建模由上例可见，差分运算可以使一类非平稳序列（即带有趋势性的序列）平稳化。如果1阶差分还不能使时间序列平稳化，还可以进行2阶差分，3阶差分，直至第d阶差分，最后将序列化为平稳序列。信息与计算科学系11数学建模1阶差分1(1)ttttXXXBX，2阶差分22122(1)tttttXXXXBX，一般地，d阶差分(1)ddttXBX，其中d称为d阶差分算子.信息与计算科学系12数学建模设{,0,1,2,}tXt是非平稳序列。若存在正整数d，使得dttXW，而{,0,1,2,}tWt是ARMA(,)pq序列，则称tX是ARIMA(,,)pdq序列。这时，tX满足()()dttBXB.（8.44）若dtX为平稳序列，但均值0，则dtX为平稳零均值序列，满足()()()dttBXB，td，（8.45）此时，称tX为一般ARIMA(,,)pdq序列，若未知，可用dtX的平均值x估计。信息与计算科学系13数学建模若tX的观测样本是12,,,nXXX，经过1阶差分后，数据减少为1n个；2阶差分以后，数据为2n个；一般地，d阶差分以后，数据为nd个。由d阶差分dtX复原数据，需要给定初值12,,,dXXX。信息与计算科学系14数学建模在确定模型时，往往采用下面的方法。先对tX的样本12,,,nXXX，计算样本自相关函数与样本偏相关函数。如果是截尾的或者是拖尾的（即被负指数控制的），说明已服从ARMA模型。若自相关函数与偏相关函数至少有1个不是截尾的或拖尾的，说明tX不是平稳的，可以作1阶差分,2,3,,tXtn，并求其样本自相关函数与样本偏相关函数，再用上述方法讨论。这样，直至判断dtX是平稳序列为止。在实际计算中，若遇到样本自相关函数或样本偏相关函数的图形虽然下降，但下降很慢，应认为是非平稳序列，需作差分运算。信息与计算科学系15数学建模...
