平方根与立方根典型题

平方根算术平方根立方根三说一、平方根、算术平方根、立方根知识点概要1. 平方根、算术平方根的概念与性质如果一个数 x 的平方等于 a（即 x 2  a ），那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根），记作：x   a ，这里 a 是 x 的平方数，故 a 必是一个非负数即a  0；例如 16 的平方根是±4，从定义还可得出：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根；0 的平方根只有一个 0，即为它本身。正数 a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，表示为 a a  0，例如 16 的算术平方根是 16  4 ，从定义中容易发现：算术平方根具有双重非负性：①a  0；②a  0 。2. 平方根、算术平方根的区别与联系区别：①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同：平方根可以是正数、负数、零，而算术平方根只能取零及正数，即非负数。联系：①它们之间具有包含关系；②它们赖以生存的条件相同，即均为非负数；③0 的平方根以及算术平方根均为 0。3. 立方根的定义与性质如果一个数 x 的立方等于 a（即 x  a ），那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（或三次方根），记作：3x  3 a 。立方根的性质：正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。二、解题中常见的错误剖析第 1 页 共 7 页例 1. 求3 的平方根。错解： 3  9223 的平方根是3剖析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而3  9 是一个正数，故它的平方根应有两个即±3。例 2. 求 9 的算术平方根。222错解： 3  99 的算术平方根是 3剖析：本题是没有搞清题目表达的意义，错误的认为是求9 的算术平方根，因而导致误解，事实上本题 9 就是表示的 9 的算术平方根，而整个题目的意义是让求 9 的算术平方根的算术平方根。9  3，而 3 的算术平方根为 3 ，故9 的算术平方根应为 3 。仿此你能给出64 的平方根的结果吗？三、典型例题的探索与解析例 3. 已知： M 的平方根。分析：由算术平方根及立方根的意义可知a  8  0ab2 a  8 是a 8 算数平方根， N  2ab4 b  3 是b  3立方根，求 M  Na  b  2  22a  b  4  3 1  2 联立<1><2>解方程组，得：a  1，b  3第 2 页 共 7 页代入已知条件得： M...