平面向量与三角形的四心归纳总结

三角形的四心与向量四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成 2：1；(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。（一）三角形的内心例题1O 是 平 面 上 一 定 点 ， A,B,C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足 ： ABAC OP  OA   | AB || AC | , [0,) ，则 P 的轨迹一定通过ABC 的()A．内心【解析】B．垂心C．重心D．外心ACAB 、分别表示向量 AB 、 AC 方向上的单位向量AC| AB |ACAC 的方向与BAC 的角平分线一致，又ABABOP  OA  ( ABAC) ，| AB || AC | OP  OA  AP  ( ABAC) ，向量 AP的方向与BAC 的角平分线一致| AB || AC |一定通过ABC的内心，选 A ．练习 1. 已知ABC 满足( ABAB ACAC) BC  0 ，ABAB ACAC 1，则ABC 为()2A．顶角为120 的等腰三角形C．有一个内角为60的直角三角形【解析】设 AD B．等腰直角三角形D．等边三角形ABAB, AE  ACAC ，则 AD  AE  AF ，而 AD  AE 1，所以 AF 是BAC 的角平分线，又 AF BC  0  AF  BC ，所以ABC 为等腰三角形，AB  AC cosBAC111 cosBAC  BAC ，所以ABC 是等边三角形.223ABAC2AB  ACABAC练 习2 . O是 平 面 内 的 一 定 点 ， A , B ， C是 平 面 内 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点P满 足则 P 点的轨迹一定通过三角形 ABC 的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【解析】 、分别表示向量、方向上的单位向量∴的方向与∠BAC 的角平分线重合，又 可得到λ（）∴向量的方向与∠BAC 的角平分线重合，∴一定通过△ ABC 的内心，选 A（二）三角形的重心例题2已 知 ABC 中 ， 向 量 AP  (AB  AC)(  R) ， 则 点 P 的 轨 迹 通 过 ABC 的 （）A．垂心B．内心C．外心D．重心【解析】设 D 为 BC 中点，则 AB  AC  2AD ， AP  2 AD ，即 P 点在中线 AD 上可知 P 点轨迹必过ABC 的重心，选 D练习 1．过的...