《高等代数》：学习笔记

~ 1 ~ 《高等代数(上)》：学习笔记 这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。 第一章 行列式 §1.1 定义 D = |2314| = 2 × 4 − 3 × 1 = 5 A = [2314] ≡ (2314) 这是行列式（或写为|D|） 这是矩阵，注意区别 {a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 这是三元线性方程组 D = |a11a12a13a21a22a23a31a32a33|= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 −a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31 §1.2 逆序数 τ(j1, j2, ⋯ , jn) §1.3 n阶行列式的代数和 D = |a11a12⋯a1na21a22⋯a2n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯an1an2⋯ann| =∑(−1)τ(j1,j2,⋯,jn)(j1,j2,⋯,jn)a1j1a2j2⋯anjn §1.4 行列式性质 1、行列式转置值不变： DT = D 2、k 可以乘上某行(列)： kDrowi 3、加法：某行之和 展开为两行列式之和： Drow(a+b) = Drow(a) + Drow(b) 4、互换两行(列)：负号 Drowi↔rowk = −D 5、两行相同(成比例)：零值 Drowi=k×rowk = 0 6、某行乘以k 加到另一行：值不变 Dk×rowi+rowk = D 3 阶行列式 右下斜线为正 左下斜线为负 代数和 n 阶排列，有n!个 逆序数 偶排列，正号 奇排列，负号 判断逆序数的奇偶性 n 阶排列 ~ 2 ~ §1.5 代数余子式 Aij = (−1)i+jMij |D| = ak1Ak1 +ak2Ak2 +⋯ +aknAkn (k = 1, 2,⋯ , n)即展开第k 行(列) §1.6 范德蒙行列式 |D| = |111⋯1a1a2a3⋯ana12a22a32⋯an2⋯⋯⋯a1n−1a2n−1a3n−1⋯ann−1| =∏ (ai −1≤j<ᵅ≤ᵅaj) 第二章 线性方程组 §2.1 克莱姆法则 D1 = |b1a12a13b2a22a23b3a32a33| D2、D3 类似左边 解集：xi = DiD (D≠ 0) 当D ≠ 0时，方程组有唯一解：x1 = D1D , x2 = D2D , x3 = D3D . (D ≠ 0) §2.2 消元法 初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。 如果线性方程组D ≠ 0，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。 §2.3 数域 P：包含0、1 且任意两个数的基本运算仍属于P。如实数R，有理数Q，复数C §2.4 n维向量 α = (a1, a2, a3, ⋯ , an ) (ε1, ε2, ε3, ε4, ) =1000010000100...