一元二次方程根的判别式的多种应用

1 一元二次方程根的判别式的多种应用 二、 已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m 为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 简解：当Δ =[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0 时，原方程有两个实数根， ∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得 m≥- 又 m-4≠0 ∴m≠4 ∴当m≥- 且 m≠4 时，原方程有两个实数根。 例3、当m 分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析：初中阶段的根的判别式Δ =b2-4ac 是相对于一元二次方程而言的，而 ax2+bx+c=0 当a=0 时是一元一次方程不能用判别式，所以例2 中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3 则一定要做分类讨论。 三、 证明方程根的性质。 例4、求证：无论 m 为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0 恒有两个不相等的实数根。 简解： Δ =（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0 ∴无论 m 为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0 恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ ≥0 求m 的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。 四、 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例5、当m 为何值时，关于x的二次三项式 mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 简解：当Δ =[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0 时，关于x的二次三项式 mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。 2 ∴m≥4 且m≠0。 评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即： Δ <0 时不能在实数范围内因式分解； Δ ≥0 时能在实数范围内因式分解；进而当Δ 为完全平方数时能在有理数范围内因式分解； 再进而当Δ =0 时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。 五、 判定二次三项式为完全平方式。 例6、若x2-2（k+1）x+k2+5 是完全平方式，求k 的值。 例7、当m 为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2 是完全平方式。 六、 利用判别式构造一元二次方程。 例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y） ...