1 一元二次方程根的判别式的多种应用 二、 已知一元二次方程根的情况,求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m 为何值时关于x的方程(m—4)x2—(2m—1)x+m=0 有两个实数根? 简解:当Δ =[-(2m-1)]2-4(m-4)m≥0 时,原方程有两个实数根, ∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0,解得 m≥- 又 m-4≠0 ∴m≠4 ∴当m≥- 且 m≠4 时,原方程有两个实数根。 例3、当m 分别取何值时关于x的方程(m-1)x2+(2m-1)x+m-1=0 l 有两个不相等的实数根 l 有两个相等的实数根 l 有两个实数根 l 有一个实数根 l 有实数根 l 无实数根 评析:初中阶段的根的判别式Δ =b2-4ac 是相对于一元二次方程而言的,而 ax2+bx+c=0 当a=0 时是一元一次方程不能用判别式,所以例2 中一定要考虑二次项系数m-4≠0;例3 则一定要做分类讨论。 三、 证明方程根的性质。 例4、求证:无论 m 为任何实数,关于x的方程x2+(m2+3)x+0.5(m2+2)=0 恒有两个不相等的实数根。 简解: Δ =(m2+3)2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=(m2+2)2+1>0 ∴无论 m 为任何实数,关于x的方程x2+(m2+3)x+0.5(m2+2)=0 恒有两个不相等的实数根。 评析:这种应用有两个难点:(1)是容易与(二)中求字母取值混淆,即用Δ ≥0 求m 的取值范围;(2)是用配方法证明二次三项式的特性。 四、 判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例5、当m 为何值时,关于x的二次三项式 mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围 内因式分解。 简解:当Δ =[-2(m+2)]2-4m(m+5)≥0 时,关于x的二次三项式 mx2-2(m+2)x+(m+5)能在实数范围内因式分解。 2 ∴m≥4 且m≠0。 评析:对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解,其方法是先求ax2+bx+c=0(a≠0)的根然后再代入公式,所以,判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解,即: Δ <0 时不能在实数范围内因式分解; Δ ≥0 时能在实数范围内因式分解;进而当Δ 为完全平方数时能在有理数范围内因式分解; 再进而当Δ =0 时ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)=a(x-x1)2(a≠0),所以此时可以说它是完全平方式。 五、 判定二次三项式为完全平方式。 例6、若x2-2(k+1)x+k2+5 是完全平方式,求k 的值。 例7、当m 为何值时,代数式(5m-1)x2-(5m+2)+3m—2 是完全平方式。 六、 利用判别式构造一元二次方程。 例8、已知:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0(x≠y) ...