一元二次方程根的判别式的综合应用 一、知识要点: 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 定理 1 ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ>0方程有两个不等实数根. 定理 2 ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ=0方程有两个相等实数根. 定理 3 ax2+bx+c=0(a≠0)中,Δ<0方程没有实数根. 2、根的判别式逆用(注意:根据课本“反过来也成立”)得到三个定理。 定理 4 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个不等实数根Δ>0. 定理 5 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程有两个相等实数根Δ=0. 定理 6 ax2+bx+c=0(a≠0)中,方程没有实数根Δ<0. 注意:(1)再次强调:根的判别式是指 Δ=b2-4ac。(2)使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式,以便正确找出 a、b、c 的值。(3)如果说方程有实数根,即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况,此时 b2-4ac≥0 切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac 的使用条件,是在一元二次方程中,而非别的方程中,因此,要注意隐含条件 a≠0. 二.根的判别式有以下应用: ① 不解一元二次方程,判断根的情况。 例1. 不解方程,判断下列方程的根的情况: (1) 2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0) 解:(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4, Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 (2) a≠0, ∴方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零, Δ=(-b)2-4·a·0=b2, 无论 b 取任何关数,b2均为非负数, ∴Δ≥0, 故方程有两个实数根。 ② 根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。 例2.k 的何值时?关于 x 的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根; 分析:由判别式定理的逆定理可知(1)Δ>0;(2)Δ=0;(3)Δ<0; 解:Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k (1) 方程有两个不相等的实数根, ∴Δ>0,即 36-4k>0.解得 k<9 (2) 方程有两个不相等的实数根, ∴Δ=0,即 36-4k=0.解得 k=9 (3) 方程有两个不相等的实数根, ∴Δ<0,即 36-4k<0.解得 k>9 ③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。 例 3.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0 没有实数根。 分析:先求出关于 x 的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。 证明: Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) =4m2-4(m4+5m2+4) =-4m4-16m2-...