一元二次方程根的判别式的综合应用

一元二次方程根的判别式的综合应用 一、知识要点： 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。 定理 1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根. 定理 2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根. 定理 3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根. 2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。 定理 4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0. 定理 5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0. 定理 6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0. 注意：（1）再次强调：根的判别式是指 Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出 a、b、c 的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时 b2-4ac≥0 切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件 a≠0. 二.根的判别式有以下应用： ① 不解一元二次方程，判断根的情况。 例1． 不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a≠0) 解：(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4, Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 (2) a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， Δ=(-b)2-4·a·0=b2, 无论 b 取任何关数，b2均为非负数， ∴Δ≥0， 故方程有两个实数根。 ② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。 例2．k 的何值时？关于 x 的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根； 分析：由判别式定理的逆定理可知（1）Δ＞0；（2）Δ=0；（3）Δ＜0； 解：Δ=(-4)2-4·(k-5)=16-4k+20=36-4k （1） 方程有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即 36-4k＞0.解得 k＜9 （2） 方程有两个不相等的实数根， ∴Δ=0，即 36-4k=0.解得 k=9 （3） 方程有两个不相等的实数根， ∴Δ<0，即 36-4k<0.解得 k>9 ③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。 例 3．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0 没有实数根。 分析：先求出关于 x 的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明： Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) =4m2-4(m4+5m2+4) =-4m4-16m2-...