1 第三讲 创造的基石——观察、归纳与猜想 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的． 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史．20 世纪数学发展中巨大成果是，1995 年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350 多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性． 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况人手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石． 例题 【例 1】 (1)用●表示实圆，用○表示空心圆，现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下： ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○„„ 问：前 2001 个圆中，有 个空心圆． (江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，2l，„叫做三角形数，它有一定的规律性，则第 24 个三角形数与第 22 个三角形数的差为 ． (舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察，从第一个圆开始，若干个圆中的实圆数循环出现，而空心圆的个数不变； （2）每个三角形数可用若干个数表示． 【例 2】观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字： 像这样，10 条直线相交，最多交点的个数是( )． A．40 个 B．45 个 C．50 个 D．55 个 (湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加，最多交点也随着增加，从给定的图形中，探讨每增加一条直线，最多交点的增加数与原有直线数的关系．是解本例的关键． 【例 3】化简个个个nnn9991999999 (第 18 届江苏省竞赛题) 思路点拨 先考察n1，2，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更加明确． 【例 4】古人用天干和地支记次序，其中天干有 10 个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸；地支有 12 个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10 个汉字和地支的12 个汉字分别循环排列成如下两行； ． 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸„„ 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥„„ 从左向右数，第 l列是甲子，第 3 列是丙寅„，问当第二次甲和子在同一列时， 该列的序号是多少? ( “希望杯”邀请赛试题) 思路...
