b a+b 图1 a 三维空间的向量 平面与直线 【内容提示】 本章讨论三维空间的向量及其运算——向量加法、数乘向量以及内积，并且利用向量研究平面与直线以及它们之间的位置关系． 线性代数的主要研究对象n 维向量是从三维向量的概念发展而来，因此，了解直观的三维空间有助于更好地理解抽象的n 维空间．本章中三维向量及其运算首先作为一个几何系统提出，经过空间直角坐标系建立向量的坐标后，转化为一个代数系统．这两个系统之间保持着完全的一致性，这一过程再现了人类的认识过程．对一组三维向量位置关系的讨论为下一步研究n 维向量组的线性关系提供了直观的背景材料．而平面与直线对研究线性方程组提供了直观背景． 第一节 三维向量及其线性运算 在中学物理中讨论过一种既有大小又有方向的量，称为矢量，例如力、速度、位移等等．在数学中这种量称为向量． 物理学中的矢量大多除了大小、方向外，还与起点（或作用点等）有关，而本书中讨论的向量与起点无关，即：大小相等、方向一致的向量被认为是相等的，而无论它的起点在那里，这种向量称为自由向量． 通常将向量看作一个有向线段，有向线段的长度表示向量的大小，称为向量的模（或长度），有向线段的方向表示向量的方向． 以点A 为起点、点 B 为终点的向量记作AB ，有时也用粗斜体字母表示三维向量，例如a，b，r等等． 向量a 的模用|a|表示，|AB |=|AB|（|AB|表示线段 AB 的长度）． 模为1 的向量称为单位向量，模为0 的向量称为零向量，通常用 o 表示，零向量的方向被认为是任意的． 如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量共线，向量a 与b 共线记作a//b． 零向量方向任意，因此认为零向量与任何向量共线． 如果一组向量可以放到同一个平面上，则称这组向量共面． 共线的向量一定共面． 一、向量的线性运算 1、 向量加法 a，b 是两个向量，将向量b 的起点放在向量a 的终点，以 a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量称为向量a 与b 的和，记作a+b，（见图1）．例如ACBCAB． 称这种方法为三角形法． 物理学中力的合成、位移的叠加就是向量加法的实际应用． 用中学物理学中定义力的合成的平行四边形法也可以计算向量的加法，其结果是一致的．（见图2） 2、数乘向量 k 是个实数，a 是个向量，依照下列方法定义的向量称为k 与a 的数量乘积，记作ka． b a+b 图2 a ka 的大小依下列规定：|ka|=|k||a|；其中|ka|表示 ka...
