三角形五心性质概念整理VIP专享

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形3 个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2 =3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32 =3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时 上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC 中，若 MA 向量+MB 向量+MC 向量=0（向量） ，则M 点为△ABC 的重心，反之也成立。 7、设△ABC 重心为G 点，所在平面有一点O，则向量 OG=1/3（向量 OA+向量 OB+向量 OC） 内心 设△ABC 的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+∠BAC/2． 3、在 RtΔABC 中,∠A=90°,三角形内切圆切BC 于D，则S△ABC=BD×CD 4、点 O 是平面 ABC 上任意一点，点 I 是△ABC 内心的充要条件是： 向量 OI=[a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(向量 OC)]/(a+b+c)． 5、在△ABC 中，若三个顶点分别是 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 那么△ABC 内心I 的坐标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 6、(欧拉定理)△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则 OI2=R2-2Rr． 7、△ABC 中：a,b,c 分别为三边，S 为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c) 8、 双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 9、△ABC 中，内切圆分别与AB，BC，CA 相切于P，Q，R， 则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2, r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、三角形内角平分线定理：...