每日一题 《三角形的中线》 10 月1 日 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC 中，若AB=8，AC=6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB 的理由是 A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD 的取值范围是 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于 E，交AD 于 F，且 AE=EF． 求证：AC=BF． 10 月2 日 如图，AD 是△ABC 中 BC 边上的中线，求证：AD＜ 21（AB+AC）． 10 月3 日 如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证：AC=BF （请用两种方法证明） 10 月4 日 如图，已知△ABC 中，AB＞AC，AD 是中线，AE 是角平分线． 求证：（1）2AD＜AB+AC； （2）∠BAD＜∠DAC； （3）AE＜AD． 证明：延长AD 到F，使DF=AD，连接BF（如图）， 易证△ADC≌△FDB，所以AC=BF， （1）在△ABF 中，AB+BF＞AD+DF， 所以2AD＜AB+AC； （2）因为△ADC≌△FDB，所以∠CAD=∠F， 因为AB＞AC，所以AB＞BF， 所以∠F＞∠BAD， 所以∠CAD＞∠BAD； （3）由（2），∠BAD＜∠DAC 及∠BAE=∠EAC= 21∠BAC， 所以∠BAD＜∠EAC， 因为AB＞AC 所以∠C＞∠B， 所以∠BAD+∠B＜∠EAC+∠C， 所以∠ADE＜∠AED，所以AE＜AD． 如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证：AC=BF 10 月 5 日 如图，AD 是△ABC 的中线，E、F 分别在AB、AC 上，且 DE⊥DF 求证：BE+CF＞EF． 10 月6 日 如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交 AB、AC 于点 E、F． 求证：BE+CF＞EF． 10 月1 日
