三角形的五心向量结论证明

三角形的五心向量结论证明 1. O 是123PP P的重心1230OPOPOP(其中, ,a b c 是123PP P三边) 证明：充分性: 1230OPOPOP O 是123PP P的重心 若1230OPOPOP，则123OPOPOP ，以1OP ，2OP 为邻边作平行四边形132'OPP P ，设3OP 与12PP 交于点3P ，则3P 为12PP 的中点，有'123OPOPOP，得'33OPOP ，即'33,,,O P P P 四点共线，故3P P 为123PP P的中线，同理，12,PO P O 亦为123PP P的中线，所以，O 为的重心。 * △ABC 中ACAB 一定过BC 的中点，通过△ABC 的重心 1 (),31 ()3APABACPABCBPBABC为的重心， *1 ()3PGPAPBPC G 为△ABC 的重心(P 是平面上任意点). 证明 PGPAAGPBBGPCCG 3()()PGAGBGCGPAPBPC G 是△ABC 的重心 ∴ GAGBGC= 0  AGBGCG= 0 ，即3PGPAPBPC 由此可得1 ()3PGPAPBPC.(反之亦然(证略)) *若O 是ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS P1 2P P3 OP ABC1,2ADABACABC2.在 中，给等于已知 AD 是 中 BC 边的中线; 2. 00AP BCPABCBP AC为的垂心 * 点O 是123PPP的垂心122331OP OPOP OPOP OP 证明：O 是123PPP的垂心312OPPP, 31232132310()0OP PPOPOPOPOP OPOP OP 同理123OPPP3112OP OPOP OP 故当且仅当122331OP OPOP OPOP OP. * O 是△ABC 所在平面内一点222222ACOBBAOCBCOA 则 O 是△ABC 的垂心 证明：由，得，所以。同理可证。容易得到由以上结论知 O 为△ABC 的垂心。 * 设,0，则向量)coscos(CACACBABAB必垂直于边 BC，该向量必通过△ABC的垂心 ,0,coscosCACACBABABAP * 若 H 是△ABC(非直角三角形)的垂心， 则 S△BHC：S△AHC：S△AHB=tanA：tanB：tanC 故tanA· HA+tanB· HB +tanC· HC = 0 ()||cos||cos||cos||cosABACBC ABBC ACBCABBACCABBACC|| ||cos()|| ||cos|| || 0||cos||cosBCABBBCACCBCBCABBACC ()|| cos|| cosABACBCABBACC3.点O 是123PP P的外心23OPOPOP． 证明：O 是△ABC 的外...