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三角形的外心内心垂心重心

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三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时,四心重合为一点,统称为三角形的中心. 一、外心 【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心, 即外接圆圆心. ABC的重心一般用字母O 表示. 【性质】 1 .外心到三顶点等距,即O CO BO A. 2 .外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边,即ABO FACO EBCO D,,. 3 .AO BCAO CBBO CA21,21,21. 二、内心 【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,即内切圆圆心. ABC的内心一般用字母I 表示. 【性质】 1 .内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角. 2 .三角形的面积=21三角形的周长内切圆的半径. 3 .CECDBDBFAFAE,,; CDBFAE三角形的周长的一半. 4 .,219 0ABICBCIA219 0 ,CAIB219 0 . 三、垂心 【定义】三角形三条高的交点叫重心. ABC的重心一般用字母H 表示. 【性质】 1 .顶点与垂心连线必垂直对边, 即ABCHACBHBCAH,,. 2 .△ABH 的垂心为C ,△BHC 的 垂心为A,△ACH 的垂心为B . 四、重心 【定义】三角形三条中线的交点叫重心. ABC的重心一般用字母G 表示. 【性质】 1.顶点与重心G 的连线必平分对边. 2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍. 即GFGCGEGBGDGA2,2,2 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值. 即3,3CBAGCBAGyyyyxxxx. 4.向量性质:(1)0GCGBGA; (2))(31PCPBPAPG,5.ABCAGBCGABGCSSSS31. 三角形“四心”的向量形式: 结论1:若点O为ABC所在的平面内一点,满足OAOCOCOBOBOA, 则点O为ABC的垂心. 结论2:若点O为△ABC 所在的平面内一点,满足 222222ABOCCAOBBCOA, 则点O为ABC的垂心. 结论3:若点G 满足0GCGBGA,则点G 为ABC的重心. 结论4:若点G 为ABC所在的平面内一点,满足)(31OCOBOAOG, 则点G 为ABC的重心. 结论5:若点I 为ABC所在的平面内一点,并且满足0ICcIBbIAa (其中cba,,为三角形的三边),则点I 为△ABC 的内心. 结论6:若点O为ABC所在的平面内一点,满足ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(,则点O为ABC的外心. 结论7:设,0,则向量)||||(ACACABA...

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