三角形的外心内心垂心重心VIP专享

三角形的“四心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心.当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心. 一、外心 【定义】三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心. ABC的重心一般用字母O 表示. 【性质】 1 .外心到三顶点等距，即O CO BO A. 2 .外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即ABO FACO EBCO D,,. 3 .AO BCAO CBBO CA21,21,21. 二、内心 【定义】三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心. ABC的内心一般用字母I 表示. 【性质】 1 .内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角. 2 .三角形的面积＝21三角形的周长内切圆的半径． 3 .CECDBDBFAFAE,,； CDBFAE三角形的周长的一半. 4 .,219 0ABICBCIA219 0 ，CAIB219 0 . 三、垂心 【定义】三角形三条高的交点叫重心. ABC的重心一般用字母H 表示. 【性质】 1 .顶点与垂心连线必垂直对边， 即ABCHACBHBCAH,,. 2 .△ABH 的垂心为C ，△BHC 的 垂心为A，△ACH 的垂心为B . 四、重心 【定义】三角形三条中线的交点叫重心. ABC的重心一般用字母G 表示. 【性质】 1.顶点与重心G 的连线必平分对边. 2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍. 即GFGCGEGBGDGA2,2,2 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3CBAGCBAGyyyyxxxx. 4.向量性质：（1）0GCGBGA； （2）)(31PCPBPAPG，5.ABCAGBCGABGCSSSS31. 三角形“四心”的向量形式： 结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足OAOCOCOBOBOA， 则点O为ABC的垂心. 结论2：若点O为△ABC 所在的平面内一点，满足 222222ABOCCAOBBCOA， 则点O为ABC的垂心. 结论3：若点G 满足0GCGBGA，则点G 为ABC的重心. 结论4：若点G 为ABC所在的平面内一点，满足)(31OCOBOAOG， 则点G 为ABC的重心. 结论5：若点I 为ABC所在的平面内一点，并且满足0ICcIBbIAa （其中cba,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心. 结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足ACOAOCCBOCOBBAOBOA)()()(，则点O为ABC的外心. 结论7：设,0，则向量)||||(ACACABA...