三角形部分模型总结

第 1 页 共 1 0 页 NCEDBAMNGF312CEDBAM三角形部分模型总结 斜边中线模型 构成：Rt△ABC,∠ACB=09 0,D 为AB 边的中点 目的：找等量关系，或2 倍（1/2）的关系。 结果：AD=CD=BD 例 1 已知：△ABC 中，∠A=06 0，CE⊥AB,BD⊥AC 求证：DE= 12BC 证明：取BC 中点M，连结EM,DM 先证EM=DMEM= 12BC=DM 再证：∠2=-∠1-∠3 =-（-2∠ABC）-（-2∠ACB）=06 0 则△EDM 为等边三角形，所以有DE=DM= 12BC “Rt△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换” 例2 已知：△ABC 中，CE⊥AB,BD⊥AC，M,N 分别为BC,DE 的中点 求证：MN⊥ED 证明：连结EM,DM 先证 EM=DMEM= 12BC=DM 后证 MN⊥ED N 为中点，EM=DM “RT△中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定 理” [思考]：若△ABC 为钝角△，又该如何呢？在 Rt△中，又是怎样？ 例3 已知：在△ABC 中，AB=AC,BD 为∠ABC 的角平分线，AM⊥BC,DE⊥BC, FD⊥BD 求证：ME= 14BF 证明：取BD、BF 中点G、N，连结 DN， EG， GM 先证 DN= 12BF 再证：DN=DC∠DNC=∠C=∠ABC  ①DN∥AB∠3=∠1 ②AB=AC 再证 GM= 12DC 后证 GM=ME∠MEG=∠MGE ①∠GEM=∠2 ②∠GMB=∠C=2∠2 所以有ME= 12DC= 14BF “RT△中斜边上的中线等于斜边的一半(2 次)”+“平行线性质 1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理” ABDCMABDEC213第 2 页 共 1 0 页 654321MGFEDCBA例4 如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD⊥BC 与D,M 为BC 边的中点，AB=10cm,则MD 长为多少？ 解：取 AB 中点N,连结DN,NM,则DN= 12AB, ∠NDB= ∠B, 且∠NMD= ∠C ∠NDB= ∠NMD+ ∠DNM ∠B= ∠C+ ∠DNM=2∠C ∠DNM=∠C=∠NDM 则DM=DN= 12AB “Rt△斜边上的中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理” +“外角性质”+“等底对等腰” 例5 如图 ，Rt△ABC 中，∠C=09 0，CD 平分∠C，E 为AB 中点，PE⊥AB,交 CD 延长线于 P,那么∠PAC+∠PBC 的大小是多少？ 解：连结 CE ,则∠EAC=∠ECA ∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠DAC-04 5 又∠DAC=180 0 -∠ADC-04 5=01 3 5-∠PDE ∠DCE=(01 3 5-∠PDE)- 04 5=∠DPE 则PE =EC=AE 则可证∠PAC+∠PBC=∠PAB+∠BAC+∠PBA+∠ABC=180 0 “斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理” “三线合一”模型 “角平分线”+垂线 ...