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上坡,下坡行程问题

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问题 从甲地到乙地,先是上坡路,然后就是下坡路,一辆汽车上坡速度为每小时20 千米,下坡速度为每小时35 千米。车从甲地到乙地共用9 小时,从乙地返回到甲地共用7.5 小时。求去时上坡路和下坡路分别为多少千米? 先画出如右图形:图中A 表示甲地,C 表示乙地。从A 到B 是上坡路,从B 到C 是下坡路;反过来,从C 到B 就是上坡路,从B 到A 是下坡路。 由于从甲地到乙地用9 小时,反过来从乙地到甲地用7.5 小时,这说明从A 到B 的距离大于从B 到C 的距离。本题的难点在于上下坡不仅速度不同,而且距离不同,因此自然的思路是设法把上下坡的距离变不同为相同。 在从A 到B 的路程中取一个点D,使得从D 到B 的距离等于从B 到C 的距离,这样A 到D的距离就是AB 距离比BC 距离多出来的部分。 下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了:9-7.5=1.5(时) 从图中容易看出就是因为去时从A 到D 是上坡,而回来时从D 到A 变成了下坡,其它路途所用的总时间是一样的。 现在的问题是AD 这段路程中速度由每小时20 千米改为35 千米,则时间少用1.5 小时,由此可以求出什么? 如果设速度为每小时20 千米所用时间为单位“1”,那么速度为每小时35 千米所用时间为: 由此就可以求出AD 之间的距离为: 20×3.5=70(千米) 或 35×2=70(千米) 还可以求出从 D 到 C 和从 C 到 D 所用时间均为:9-3.5=5.5(时) 或 7.5-2=5.5(时) 至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了。如果设从 D 到 上坡所用时间为: 所以去时上坡的总路程就是: 70+20×3.5=140(千米) 下坡总路程是:35×2=70(千米) 上面所用方法实质上是通过“截长变短”把上下坡的距离“变不同为相同”,而实现这一目的还可以通过“补”的方法。 将返回的路程补在去时路程的后面,画出右图: 这时全程去与回所用的时间都是: 9+7.5=16.5(时) 而且全程的上坡路程和下坡路程相等,都等于原来上下坡距离之和。设 为: 所以原来上下坡距离之和就是: 20×10.5=210(千米) 或 35×6=210(千米) 下面采用解决“鸡兔同笼”问题的方法,假设原来从 A 到 C 速度不变,都是每小时35 千米,这样 9 小时所行路程应该为: 35×9=180(千米) 比实际距离少行了: 210-180=30(千米) 就是因为从B 到C 的下坡速度每小时20 千米变成了35 千米,因此从B 到C 的时间为: 30÷(35-20)=2...

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