不定积分与定积分的运算

1 不定积分与定积分的计算 1.不定积分 1.1 不定积分的概念 原函数：若在区间 上)()(xfxF，则称)(xF是的一个原函数. 原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是在区间 上的原函数；若 也是在区间 上的原函数，则必有 . 可见，若，则的全体原函数所成集合为{│Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作dxxf)( 一个重要的原函数：若)(xf在区间上连续，Ia  ，则 xadttf)(是的一个原函数。 1.2 不定积分的计算 (1)裂项积分法 例 1：Cxxxdxxxdxxxdxxxarctan23)121(121113222424。 例 2：dxxxdxxxxxxxdx)sec(cscsincossincossincos22222222 例 3：222222(1)(1)(1)dxxxdxxxxx221arctan1dxdxxCxxx  2 (2)第一换元积分法 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2x dx，如果凑上一个常数因子 2，使成为 11cos 2cos2cos 2222x dxxxdxxdx•Cx 2sin21 例 4：  23222arctan111dxdxdxxCxxxx 例 5：2222111111111dxddxxxxxxx    22111211dxx1222111112dxx 12221112 112CCxx   例 6： dtttxdxxdxxxxxt21arctan21arctan2)1(arctan cxarctgcarctgttdt22)()()(arctanarctan2. (3)第二换元积分法 第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下： 被积函数包含 nbax ,处理方法是令)(1,btaxtbaxnn; 被积函数包含)0(22axa,处理方法是令txtxcossin或; 被积函数包含)0(22axa,处理方法是令txtan; 3 被积函数包含)0(22aax,处理方法是令 txsec; 例7：计算220ax dxa 解：令sin ,,arcsin,22xxatttaxaa  则，且 22coscos ,cos,axatat dxatdt从而 22ax dx=222cos . coscos1cos 22aat atdtatdtt dt =2221 sin...