不定积分第一类换元法

1 不定积分第一类换元法（凑微分法） 一、 方法简介 设)(xf具有原函数)(uF，即)()('ufuF，CuFduuf)()(，如果U 是中间变量， )(xu，且设)(x可微，那么根据复合函数微分法，有 dxxxfxdF)(')]([)]([ 从而根据不定积分的定义得 )(])([)]([)(')]([xuduufCxFdxxxf. 则有定理： 设)(uf具有原函数， )(xu可导，则有换元公式 )(])([)(')]([xuduufdxxxf 由此定理可见，虽然dxxxf)(')]([是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy中的dx及dy 可看作微分，被积表达式中的dx也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式dudxx)('可以方便地应用到被积表达式中。 几大类常见的凑微分形式： ○1)()(1)(baxdbaxfadxbaxf )0(a； ○2 xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin，xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos，xdxfxdxxftan)(tancos)(tan2，xdxfxdxxfcot)(cotsin)(cot2； ○3 xdxfdxxxfln)(ln1)(ln，xxxxdeefdxeef)()(； ○4nnnnxdxfndxxxf)(1)(1)0(n，)1()1()1(2xdxfxdxxf，)()(2)(xdxfxdxxf； ○5xdxfxdxxfarcsin)(arcsin1)(arcsin2； 2 xdxfxdxxfarctan)(arctan1)(arctan2； ○6 复杂因式 【不定积分的第一类换元法】 已知( )( )f u duF uC 求( )( ( )) '( )( ( ))( )g x dxfxx dxfx dx 【凑微分】 ( )( )f u duF uC 【做变换，令( )ux，再积分】 ( ( ))FxC 【变量还原，( )ux】 【求不定积分( )g x dx的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式：( )( ( )) '( )dxg xfxx dx （2）凑微分：( )( ( ))( (')))(( )xg xdxdxdxfxfx （3）作变量代换( )ux得：( )( ( )) '( )()( )( )g x dxfxxxxdxfd( ) uf u d  （4）利用基本积分公式( )( )f u duF uC求出原函数： ( )( ( )) '( )( ( ))( )g x dxfxx dxfx dx( )( )duuCf uF （5）将( )ux代入上面的结果，回到原来的积分变量 x 得： ( )( ( )) '( )( ( ))( )g x dxfxx dxfx dx( )( )f u duF uC( ( ))FxC 【注】熟...