专题：椭圆中最值问题求解策略

1 专题：椭圆中最值问题求解策略 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。 第 一 类 ： 求 离 心 率 的 最 值 问 题 破解策略之一：建立cba,,的不等式或方程 例 1：若BA,为椭圆)0(12222babyax的长轴两端点，Q 为椭圆上一点，使0120AQB，求此椭圆离心率的最小值。 分析：建立cba,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中yx,的取值进行求解离心率的最值。 解：不妨设),(),0,(),0,(yxQaBaA，则axykaxykBQAQ,， 利用到角公式及0120AQB得：0120tan1axyaxyaxyaxy（ax）， 又点 A 在椭圆上，故22222ybaax，消去x ， 化简得2232caby 又by 即bcab2232 则42223)(4ccaa，从而转化为关于e的高次不等式 044324 ee解得136 e。 故椭圆离心率的最小值为36。（或222233()abcab，得：303ba，由21 ( )bea，故136 e）（注 ：本 题若是选 择 或填 空 可 利用数形结合求最值） 点 评 ： 对 于 此 类 最 值 问 题 关 键 是 如 何 建 立cba,,之 间 的 关 系 。常用椭圆上的 点),(yx表示成cba,,，并利用椭圆中yx,的 取值 来求 解范围问 题 或用数形结合进行求 解。 破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围 例 2：已 知椭圆C：22221(0)xyabab两个焦点为12,F F ，如 果 曲线C 上存 在一点 Q，使12FQF Q，求椭圆离心率的最小值。 分析：根 据 条件可 采 用多 种方法求解，如 例 1 中所提 的方法均可 。本 题如 借 用三 角函数的有界 性求解，也会 有不错 的效 果 。 解：根 据 三 角形的正 弦 定理 及合分比 定理 可 得： cossin2cossinsinsin90sin221210aPFPFPFPFc 故22)45sin(210 e，故椭圆离心率的最小值为22。 ...