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专题:空间角的几何求法

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北 京 华 罗 庚 学 校 为全国学 生提供优质教育 聪明在于勤奋,天才在于积累 1 空间角的几何求法 一、 异面直线所成角(线线角) 范围:(0,]2  先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角,然后通过解三角形去求得。 【典例分析】 例1. 已知多面体ABCDE 中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AC = AD = CD = DE = 2,AB = 1,F 为CD的中点.(1)求证:AF⊥平面CDE;(2)求异面直线AC,BE 所成角余弦值; 【变式】在长方体1111ABCDA B C D中,1ABBC ,13AA ,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 。 二、直线与平面所成角(线面角) 范围:[0,]2  【典例分析】 例1.如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C 均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1 与平面ABB1 所成的角的正弦值. 北 京 华 罗 庚 学 校 为全国学 生提供优质教育 聪明在于勤奋,天才在于积累 2 【变式】如图,四边形ABCD 是正方形,PB⊥平面 ABCD,MA//PB,PB=AB=2MA,(1)证明:AC//平面 PMD;(2)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角的大小; 例 2. 如图所示,四棱锥 P— ABCD 中,AB AD,CD AD,PA 底面 ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为 PC 的中点。(1)求证:BM∥ 平面 PAD;(2)在侧面 PAD 内找一点 N,使 MN 平面 PBD;(3)求直线PC 与平面 PBD 所成角的正弦。 北 京 华 罗 庚 学 校 为全国学 生提供优质教育 聪明在于勤奋,天才在于积累 3 【变式】如图,在三棱锥VABC中,VCABC⊥底面,ACBC⊥,D 是AB 的中点,且ACBCa,π02VDC∠.(1)求证:平面VAB ⊥平面VCD ;(2)试确定角 的值,使得直线 BC 与平面VAB 所成的角为 π6 . 三、平面与平面所成角(面面角) 范围:[0, ] (1)定义法:当点A 在二面角 α--β 的棱上时,可过 A 分别在α、β 内作棱的垂线,AB、AC,由定义可知∠BAC 即为二面角 α--β 的平面角。 (2)三垂线法:当点A 在二面角 α--β 的一个面α 内时,可作 AO⊥β于 O,再作 OB⊥于 B,连结 AB,由三垂线定理可得 AB⊥,故∠ABO 即为二面角 α--β 的平面角。 (3)垂面法:当点A 在二面角 α--β 内时,可作 AB⊥α 于 B,AC...

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