第一章 代数基本概念 习题解答与提示(P54) 1. 如果群 G中,对任意元素 a,b有(ab)2=a2b2,则 G为交换群. 证明: 对任意 a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b 再由已知条件以及消去律得到 ba=ab, 由此可见群 G为交换群. 2. 如果群 G中,每个元素 a都适合 a2=e, 则 G为交换群. 证明: [方法 1] 对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab) =ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G为交换群. [方法 2] 对任意 a,b G, a2b2=e=(ab)2, 由上一题的结论可知 G为交换群. 3. 设 G是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac推出 a=c; (3) 由 ac=bc推出 a=b; 证明 G在该乘法下成一群. 证明:[方法 1] 设G={a1,a2,…,an},k是1,2,…,n中某一个数字,由(2)可知若i j(I,j=1,2,…,n),有 akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 at G, 存在 am G,使得 akam=at. 由<2>和<4>知对任意 at G, 存在 as G,使得 asak=at. 由下一题的结论可知 G在该乘法下成一群. 下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思路比较清楚。 [方法 2] 为了证明 G在给定的乘法运算下成一群，只要证明 G内存在幺元(单位元)，并且证明 G内每一个元素都可逆即可. 为了叙述方便可设 G={a1,a2,…,an}. (Ⅰ) 证明 G内存在幺元. <1> 存在 at G，使得 a1at=a1.(这一点的证明并不难，这里不给证明); <2> 证明 a1at= ata1; 因为 a1(ata1)at=(a1at) (a1at)=(a1)2 a1(a1at)at=(a1a1)at=a1(a1at)= (a1)2, 故此 a1(ata1)at= a1(a1at)at. 由条件(1),(2)可得到 a1at= ata1. <3> 证明 at就是 G的幺元; 对任意 ak G, a1(atak) =(a1at)ak=a1ak 由条件(2)可知 atak=ak. 类似可证 akat=ak. 因此 at就是 G的幺元. (Ⅱ) 证明 G内任意元素都可逆； 上面我们已经证明 G内存在幺元，可以记幺元为 e，为了方便可用 a,b,c,…等符号记 G内元素.下面证明任意 a G，存在 b G，使得 ab=ba=e. <1> 对任意 a G，存在 b G，使得 ab=e; (这一点很容易证明这里略过.) <2> 证明 ba=ab=e; 因为 a(ab)b=aeb=ab=e a(ba)b=(ab)(ab)=ee=e...
