双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义(1) 平面内，到两定点 F、F 的距离之差的绝对值等于定长 2a(|FF 卜 2a,a>0)的点的轨迹称为双曲线，其中两1212定点 F、F 称为双曲线的焦点，定长 2a 称为双曲线的实轴长，线段|FF|的长称为双曲线的焦距•此定义为双曲线1212的第一定义.【注】||PF|-|PF||=2a=|FF|，此时 P 点轨迹为两条射线.(2) 平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值 e(e>1)的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值 e 称为双曲线的离心率•此定义为双曲线的第二定义.2、双曲线的简单性质标准方程兰-兰=1(a,b>0)a2b2兰-竺=1(a,b>0)a2b2顶点坐标A(土 a,0)B(0,±a)焦点坐标左焦点 F(-c,0)，右焦点 F(c,0)12上焦点 F(0,c)，下焦点 F(0,-c)12虚轴与虚轴实轴长 2a、虚轴长 2b实轴长 2a、虚轴长 2b有界性|x|>ay>a，对称性关于 x 轴对称，关于 y 轴对称，同时也关于原点对称.3、渐近线双曲线兰-兰=1(a,b>0)的渐近线为芒-兰=0，即 X土 2=0，或 y=±-x•a2b2a2b2aba【注】① 与双曲线竺-兰=1 具有相同渐近线的双曲线方程可以设为竺-竺=1(1^0)；a2b2a2b2② 渐近线为 y=±—x 的双曲线方程可以设为——=1(1 工 0)；aa2b2③ 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④ 等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点 P 到双曲线焦点 F 的距离称为焦半径•若 P(x,y)为双曲线乂-兰=1(a,b>0)上的任意一点，00a2b2F(-c,0)，F(c,0)为双曲线的左、右焦点，则 IPF1=ex+a，IPF1=ex-a，其中 e=-121020a5、通径过双曲线兰-兰=1(a,b>0)焦点 F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于 A、B 两点，称线段 AB 为双曲线的通径,a2b2且|AB|=竺a6、焦点三角形P 为双曲线兰-兰=1(a,b>0)上的任意一点，F(-c,0)，F(c,0)为双曲线的左右焦点，称 APFF 为双曲线的焦点a2b21212点15、ab则亀 MPN=定值亍A（xi，yi），B（x2,y2）为双曲线注一£=1（a，b〉0）上的任意两点，且凡刊X2，则y2一 y2b212=-X2一 X2a2y 2 a2b214、点则 PM||PN|=定值 a2.A三角形.若 ZFPF=e，则焦点三角形的面积为：S=b2cot-.12AF]PF227、双曲线的焦点到渐近线的距离为 b（虚半轴长）.8、双曲线——=l（a,b〉0）的焦点三角形的内心的轨迹为 x=±a（y 丰 0）a2b29、直线与双曲线的位置关...
