关于lnx的重要不等式

关于lnx 的重要不等式及其应用 基本不等式：)0(,1ln11xxxx 证明： 例题 1 设,012 xx求证：1121221lnln1xxxxxx 例题 2 已知,1ln)1()(xxxxf求证：.0)()1(xfx 变形 1 ：若,0x则xxx1)11ln (11 例题 3 任意 Nn,求证：3ln31...21112lnnnn 例题4 任意 Nn,求证：n nen!1 变形 2 ：若,0x则1ln22 xx 例题5 求证：)2(,4)1(1ln...43ln32lnnnnnn 例题6 求证：)2(,)1(212ln...33ln22ln)1(212222222nnnnnnnnn 关于xln的重要不等式归纳： （1） )0(,1ln11xxxx （2）)1(),1(21ln)..10(),1(21lnxxxxxxxx （3）)10(,)1)1(2ln)..1(,1)1(2lnxxxxxxxx （4）)0(,2)1ln (2xxxx （5）)1(,1ln)..1(,1lnxxxxxxx 强化训练 1.求证：),1(,2)1(ln...3ln2lnNnnnnn 2.求证：)(,1...31211)1ln (Nnnn 3.求证：).(121...715131)1ln (Nnnn 4.已知数列{}na，123a ，且1211(1)2nnnaan (1,)nnN ， （1）当2n 时，求证：2na ； （2）求证：且223nae 5.已知函数( )ln(1)f xxx，数列{}na满足：112a ，111ln 2ln()nnnnnaaaf aa （1）求证数列1{}1na 是等差数列； （2）求证不等式：12ln 2ln(2)naaann 6 . 设数列 na、 nb满足nnannaa)1(2,2111，且Nnaabnnn,21)1ln(2. （1）求数列 na的通项公式； （2）对一切 Nn，证明nnnbaa22成立； （3）记数列 2na、 nb的前n 项和分别是nA 、nB ，证明：42nnAB. 7.设函数，，数列满足：. （1）当时，比较 x 与的大小； （2）求数列的通项公式； （3）求证：． ( )ln(1)f xx2( )(0)1xg xxx{}na*111 ,()()2nnaag anN1x  ( )f x{}na1221ln2nnaaa 8.已知函数 ln3f xaxaxaR. （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数( )yf x的图像在点(2,(2))f处的切线的倾斜角为45 ，对于任意[1,2]t ，函数 32'[( )]2mg xxxfx在区间( ,3)t上总不是单调函数，求m 的取值范围； （3）求证： ln 2 ln3 ln 4ln1 (,2)234nnN nnn 9.已知数列{}na满足：11111,()22nnnnaaanN  （1） 求数列 {na }的通项公式； （2） 证明：1112nna ； （3） 设224nnnTann，且21ln(1)2nnnkTT，证明：22nnnTTk