1 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路 1：( )mf x在x D上恒成立max[ ( )]mf x； 思路 2：( )mf x在x D上恒成立min[ ( )]mf x． 如何在区间D上求函数( )f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数( )f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例 1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)xa xa xa x axb xb xb xb； 定义映射 f ：12341234(, , , )aaaabbbb，则 f ：(4,3,2,1)_____ 解：取0x，则412341abbbb ，又由已知41a ，所以12340bbbb． 例 2．如果函数( )sin 2cos2yf xx ax的图像关于直线8x 对称，那么____a 解：取0x及4x ，则(0)()4ff，即1a ． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想． 2 C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数( ) (0)yf xaxba，若( )yf x在[ , ]m n 内恒有( )0f x ，则等价于：( )0( )0f mf n；同理，若在[ , ]m n 内恒有( )0f x ，则等价于：( )0( ...
