华东师范大学《数学分析》历年考研真题(1997年2010年)

1 华东师范大学数学分析历年考研真题 （1997年-2010年） 华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题 一（12分）设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若 f(x)为一一映射，则 f(x)在区间I上严格单调。 二（12分）设 1 ,( )0xD xx 为有理数， 为无理数 证明：若 f(x), D(x)f(x) 在点 x=0处都可导，且 f(0)=0,则'(0 )0f 三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 2()(0 ,0 )a baba babab 四（16分）设级数1nnan收敛，试就1nnd为正项级数和一般项级数两种情况分别证明1nnann也收敛。 2 五（20分）设方程(,)0F xy满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数y=f(x)。又设(,)F xy具有连续的二阶偏导数。 （1） 求''( )fx （2） 若0000(,)0,()F xyyf x为 f(x)的一个极值，试证明： 当00(,)yFxy与00(,)xxFxy同号时，0()f x为极大值； 当00(,)yFxy与00(,)xxFxy异号时，0()f x为极小值。 （3） 对方程2227xxyy，在隐函数形式下（不解出 y）求 y=f(x)的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。 六（12分）改变累次积分 4204842(4)xxxIdxydy 的积分次序，并求其值。 七（12分）计算曲面积分222(coscoscos)sIxyzds其 中s 为 锥 面22zxy上 介 于 0zh的 一 块 ，c o s, c o s, c o s为 s的下侧法向的方向余弦。 3 华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题 一． 简答题（20分） （1） 用定义验证：22323lim 212nnnn； （2） '2cos ,0( ),( )ln(1),0x xf xfxxx 求； （3） 计算32.1xdxx 二（12 分）设f(x)有连续的二阶导函数，且''0()2,[()()]sin5,ffxfxxdx求f(0). 三（20分） （1）已知1nna为发散的一般项级数，试证明11(1)nnan也是发散级数。 （2）证明112sin 3nnnx在0, 上处处收敛，而不一致收敛。 4 四（12分）设 2222:,Dxyzt222( )(),DF tf xyz dxdydz其中f为连续函数，f(1)=1.证明'(1) 4 .F 五（12分）设D为由两抛物线21yx与21yx 所围成的闭域。试在 D内求一椭圆，22221,xyab使其面积为最大。 六（12分）设( ,)u x y有连续二阶偏导数，(, )Fu t有连续一阶偏导数，且满足''(,)0,xyF uu'2'2()()0,stFF...