2024年因式分解竞赛题含问题详解VIP免费

实用文档因式分解运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式.例1分解因式:(1)-2x5n-１yn+4ｘ3ｎ－1ｙn+2-２xn－1yn+４;(2)ｘ3-８ｙ３-z3-6xｙz；解（1)原式=-2ｘｎ-1yn（x4n-2x2ny2＋y4)=-2xn－1yn[(x2n)2－2x2ｎy２+(y2)２]=-2ｘn-1yｎ（x2n-y２）2＝－２ｘｎ－1yn(ｘｎ－y）2（xn＋y）2．(2)原式=ｘ3+(-2y)3+(-ｚ)3－３x(-2y)(－Z）＝(x-２y-z)(x2＋4y2+z2+２xy＋ｘz－２yz)．标准文案序号公式记忆特征1x2＋（ａ+b)x+ab=(x＋a)(x＋b)(十字相乘法)(1)常数项两数积(2)一次项系数两数和(3)二次项系数为1２a2-b2=(a－b)(a+b)（平方差公式)３a２＋2aｂ+b2=（a+ｂ)2a2-2ab+b2=(a-b)2（完全平方公式）4a２+b2+ｃ2+2ab＋2ac＋2ｂｃ＝(ａ＋b+c）2(完全平方公式扩展)（1）三数平方和(２)两两积的２倍5a３＋3a2b+3ab2＋b3=(ａ+b）3a3－３a2b-３aｂ２+b3=(a－b)3（完全立方公式）对照完全平方公式相互加强记忆6a3+ｂ3=（a＋b)(ａ2-aｂ＋b2)ａ3-b3=(a-ｂ)（a2＋ab+b2)(1)近似完全平方公式(2)缺项之完全立方公式（ａ＋ｂ)[(a＋b)2-3ａb］=(a+ｂ)３-3ab（a＋ｂ)(a－b)［（a+b）2＋3ab]=（a-ｂ）3+3aｂ(a＋b)7ａ3＋b3+c3-３abc=(a+ｂ＋ｃ)（ａ2+b2+c2-ａb－ac-ｂc)对照公式4相互加强记忆8aｎ-bn=(a-b)（an-1+an-2b+aｎ－3ｂ2+…+aｂn-２+bn-１)n=整数（平方差公式扩展）(1)短差长和;(2)a指数逐项递减1;(3)b指数逐项递增1;(4)长式每项指数和恒等于ｎ－1。9ａn－ｂn=(a+b）(ａｎ－１-ａn－2ｂ+aｎ－3b2－…+abn-2-bn-1)ｎ=偶数(立方差公式扩展)(1)短式变加长式加减相间;(2)a指数逐项递减1;(3)b指数逐项递增1;(4)每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn=（a+b)(an-1-an-２b+ａn-3b2－…+ａｂｎ－2-bn－1）n=奇数(立方和公式扩展）对比公式9的异同实用文档例2分解因式:a３＋b3＋c3-3ａbc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（６)．分析我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b＋3ab２+b３的正确性，现将此公式变形为a3+b３＝(a＋b)3-3ab(a+b)．这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．解原式=(ａ＋ｂ)3－3ab(a+ｂ)+c３-3aｂc＝[（a＋ｂ)３+ｃ3］-3ab（ａ＋b+c)＝(a＋ｂ+ｃ)［(a+b）2-c(a+b)＋ｃ２]-3ab(ａ＋ｂ+c)＝(a+b＋c)(ａ2+b２+c２－ab－bc－ca)．说明公式（６)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如:我们将公式(6）变形为a3+b3+ｃ3-3aｂc显然，当a+ｂ+ｃ＝0时，则ａ3+ｂ3+ｃ３＝３abc;当a＋b+c＞0时，则a3＋b3+ｃ3－３abc≥0，即a3+b3+c3≥３abc,而且,当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令x=a3≥0，y=b3≥0,z=c3≥0,则有等号成立的充要条件是ｘ＝y=z．这也是一个常用的结论.※※变式练习1分解因式：x15＋x14+x13＋…+x２+x+１．分析这个多项式的特点是：有１6项,从最高次项x15开始，x的次数顺次递减至０,由此想到应用公式aｎ-bn来分解.解因为x16-1=(x-1）(ｘ１5+x１4＋x1３+…x2+x＋1），所以标准文案实用文档说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x－１）的技巧,这一技巧在等式变形中很常用．2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解.例3分解因式：ｘ３-9x+８．分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧.解法1将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-１＋9=(x3－1)-9x+9＝(x-1)(x2+x+1）－9（x-1)＝（x-１）（x2+x-8）．解法２将一次项-９x拆成－x-8ｘ．原式=x3－x-8x＋8=(x3-x)+(-8x+8)＝ｘ（ｘ+1)(x-１)-８(x-1)=(x-1)（ｘ2+x-８).解法3将三次项x3拆成9x3-8ｘ3．原式=9ｘ３-８ｘ3-9ｘ＋8＝(9x3-9x)+（-8x3+8）=9x(x＋1)（ｘ-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x２+x-8).解法4添加两项-ｘ2+x２．原式＝x３-９x+8=x3-x2＋ｘ2－9ｘ+...