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极值点偏移第招含参数的极值点偏移问题

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极值点偏移 1-4-第 2 招--含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元 x,x 的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就12会想到:想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.★例 1.已知函数 f(x)=x-aex 有两个不同的零点 x,x,求证:x+x>2.1212【解析】思路 1:的两个霉点,等价于方程迈—的两个实根,从而这一问题与专题三(不含参数的极值点偏移问题)例题完全等价,专题三例题的四种方法全都可次用;思路 2:也可以利用参数口弦个煤介去构造出新的函数一解答如下:因为圏数/W 育两个零点兀®由①+⑵ 得:场+眄=成声+沪)』慕证明西十无 A2,只慕证明口+0、>2,由①一(功得;西一花二砒皆施),即卫=弓二电即证:⑵-花)一>2,不妨设 x>x,记 t 二 x 一 x,则 t>0,et>11212et+12(e?—1)八因此只要证明:t->2ot—>0et-1et+1再次换元令 et=x>1,t=lnx,即证 lnx—x>0,xe(1,+s)x+1构造新函数 F(x)=Inx一,F(1)=0x+114(x—1)2求导 F'(x)=-=>0,得 F(x)在(1,+s)上递增,x(x+1)2x(x+1)2所以 F(x)>0,因此原不等式 x+x>2 获证.12lnx 一 lnx12x 一 x•/lnx+Inx=a(x+x)1212一 lnx22>,即证:x+x]xln1>——12xx+xlnxlnxa=1=2xlntx贝 yx=tx,卜=tO21lnx1ilnt、、、iilnttlnt★例 2.已知函数 f(x)=Inx-ax,a 为常数,若函数 f(x)有两个零点 x,x,证明:x-x>eIIIII.1212【解析】法一:消参卡专化成无参数问题:f(x)=0<=>lnx=ax<=>lmc=oel111,码西是方程 CX)=0 的两根,也是方程 IDX=^S的两根,则 In 心 In 花是方程兀=分的两根;设=111 西 1 巧花 Jg(x)=Dcg~IV?则粼叫)=区旳儿从而画花如花 A2Q 珥+明>2,此问题等价转化成为专题三例謹下臨法二:利用参数 a作为媒介,换元后构造新函数:不妨设 x1>x2•・•lnx 一 ax 二 0,lnx 一 ax=0lnx+lnx=a(x+x),lnx 一 lnx=a(x 一 x),112212121212=a,欲证明 xx>e2,即证 lnx+lnx>2.-^2lnx・•・原命题等价于证明 1x 一 x122(x 一 x)x/八g(t)=lnt-岂岂,t>1,此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答,下略.t+1法三:直接换元构造新函数:lnxxx/八O2=2,设 x1)lnxx1211lnt+lnx4 二 tlnx1反解出:lnx=,lnx=lntx=lnt+lnx=lnt+=1t-1211t-1t-1t+1故 xx>e2Olnx+lnx>2Olnt>2,转化成法二,下同,略.1212t-1II即证 a>—x+x12III',令 t=-^,(t>1),构造IV2...

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