极值点偏移第招含参数的极值点偏移问题

极值点偏移 1-4-第 2 招--含参数的极值点偏移问题含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元 x,x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就12会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.★例 1.已知函数 f（x）=x-aex 有两个不同的零点 x,x，求证：x+x>2.1212【解析】思路 1：的两个霉点，等价于方程迈—的两个实根，从而这一问题与专题三（不含参数的极值点偏移问题）例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可次用；思路 2:也可以利用参数口弦个煤介去构造出新的函数一解答如下:因为圏数/W 育两个零点兀®由①+⑵ 得：场+眄=成声+沪）』慕证明西十无 A2,只慕证明口+0、>2,由①一（功得；西一花二砒皆施），即卫=弓二电即证：⑵-花）一>2,不妨设 x>x，记 t 二 x 一 x，则 t>0,et>11212et+12(e?—1)八因此只要证明：t->2ot—>0et-1et+1再次换元令 et=x>1,t=lnx,即证 lnx—x>0,xe(1,+s)x+1构造新函数 F(x)=Inx一，F(1)=0x+114(x—1)2求导 F'(x)=-=>0，得 F(x)在(1,+s)上递增,x(x+1)2x(x+1)2所以 F(x)>0，因此原不等式 x+x>2 获证.12lnx 一 lnx12x 一 x•/lnx+Inx=a(x+x)1212一 lnx22>，即证:x+x]xln1>——12xx+xlnxlnxa=1=2xlntx贝 yx=tx,卜=tO21lnx1ilnt、、、iilnttlnt★例 2.已知函数 f(x)=Inx-ax,a 为常数，若函数 f(x)有两个零点 x,x，证明：x-x>eIIIII.1212【解析】法一：消参卡专化成无参数问题：f(x)=0<=>lnx=ax<=>lmc=oel111,码西是方程 CX)=0 的两根,也是方程 IDX=^S的两根,则 In 心 In 花是方程兀=分的两根；设=111 西 1 巧花 Jg(x)=Dcg~IV?则粼叫)=区旳儿从而画花如花 A2Q 珥+明>2,此问题等价转化成为专题三例謹下臨法二：利用参数 a作为媒介，换元后构造新函数:不妨设 x1>x2•・•lnx 一 ax 二 0,lnx 一 ax=0lnx+lnx=a(x+x),lnx 一 lnx=a(x 一 x)，112212121212=a，欲证明 xx>e2，即证 lnx+lnx>2.-^2lnx・•・原命题等价于证明 1x 一 x122(x 一 x)x/八g(t)=lnt-岂岂,t>1，此问题等价转化成为例 1 中思路 2 的解答，下略.t+1法三：直接换元构造新函数:lnxxx/八O2=2,设 x1)lnxx1211lnt+lnx4 二 tlnx1反解出：lnx=,lnx=lntx=lnt+lnx=lnt+=1t-1211t-1t-1t+1故 xx>e2Olnx+lnx>2Olnt>2，转化成法二，下同，略.1212t-1II即证 a>—x+x12III'，令 t=-^,(t>1)，构造IV2...