周期信号的傅里叶变换

周期信号的傅里叶变换 周期信号虽然不满足绝对可积的条件，但其傅里叶变换是存在的。由于周期信号频谱是离散的，所以它的傅里叶变换必然也是离散的，而且是由一系列冲激信号组成。下面先讨论几种常见的周期信号的傅里叶变换，然后再讨论一般周期信号的傅里叶变换。 复指数信号的傅里叶变换 对于复指数信号 tjetf0)( t 因为 )(21 由频移性 )(21)(210000tjtjee (3-76) 复指数信号是表示一个单位长度的相量以固定的角频率ω 0随时间旋转，经傅里叶变换后，其频谱为集中于0 ，强度为2的冲激。这说明信号时间特性的相移对应于频域中的频率转移。 二、余弦、正弦信号的傅里叶变换 对于余弦信号 2cos)(0001tjtjeettf t 其频谱函数 )(2)(221)(001jF)()(00 (3 -7 7 ) 对于正弦信号 jeettftjtj2sin)(0002 t 有 )(2)(221)(002jjF)()(00 j (3 -7 8 ) 它们的波形及其频谱如图3-25所示。 ttf01cos)(1t-1ttf02sin)(1t-1)(1 jF．．．．．． 0 00)()()(Im2jF．．．．．． 0 0)()( 0图 3 - 25 三、单位冲激序列)(tT的傅里叶变换 若信号)(tf为单位冲激序列，即 nTnTtttf)()()( (3-79) 则其傅里叶级数展开式为 nntjeTtf1)( (3-80) 对其进行傅里叶变换，并利用线性和频移性得 nnnnTjF)()(21)( (3-81) 式中 T2。 可见，时域周期为T 的单位冲激序列，其傅里叶变换也是周期冲激序列，而频域周期为 ，冲激强度相等，均为 。周期单位冲激序列波形、傅里叶系数nF 与频谱函数)( jF如图3-26所示。 )(tft．．．．．．(1)TTTT2 0 2 nF．．．．．．2 0 2T1)( jF．．．)(2 0 2(a) (b) (c)图 3 - 26四、一般周期信号的傅里叶变换 对于一般周期为T的周期信号)(tf，其指数型傅里叶级数展开式为 ntjnneFtf)( 式中T2,22)(1TTtjnndtetfTF. 对上式两边取傅里叶变换，并利用其线性和频移性，且考虑到nF 与时间t无关，可得 ...