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周衍柏《理论力学》第五章教案分析力学

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第五章 分析力学 本章要求(1)掌握分析力学中的一些基本概念;(2)掌握虚功原理;(3)掌握拉格朗日方程;(4)掌握哈密顿正则方程。 第一节 约束和广义坐标 一、 约束的概念和分类 加于力学体系的限制条件叫约束。 按不同的标准有不同的分类: 按约束是否与时间有关分类:稳定约束、不稳定约束; 按质点能否脱离约束分类:可解约束、不可解约束; 按约束限制范围分类:几何约束(完整约束)、运动约束(不完整约束)。 本章只讨论几何约束(完整约束),这种约束下的体系叫完整体系。 二、广义坐标 1、自由度 描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。 设体系有 n个粒子,一个粒子需要3个坐标(如 x、y、z)描述,而体系受有 K个约束条件,则体系的自由度为(3n-K) 2、广义坐标 描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如:作圆周运动的质点只须角度用θ描述,广义坐标为θ,自由度为 1,球面上运动的质点,由极角θ和 描述,自由度为 2。 第二节 虚功原理 本节重点要求:①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念;②掌握虚功原理。 一、实位移与虚位移 质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移;在某一时刻,在约束允许的情况下,质点可能发生的位移叫虚位移。 如果约束为固定约束,则实位移是虚位移中一的个;若约束不固定,实位移与虚位移无共同之处。例如图 5.2.1中的质点在曲面上运动,而曲面也在移动,显然实位移 与虚位移 不一致。 二、理想约束 设质点系受主动力 和约束力 的作用,它们在任意虚位移中作的功叫虚功。 若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零,则这种约束叫理想约束。光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。 三、虚功原理 1、文字叙述和数学表示: 受理想约束的力学体系,平衡的充要条件是:作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即 (1) 适用条件:惯性系、理想不可解约束。 2、 推论 设系统的广义坐标为q1,……,qa,……,qS,虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式: 定义: 称为相应于广义坐标qa的广义力,则虚功原理表述为:理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零,即: (2) 3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤 一般步骤为:(1)确定自由度,选取坐标系,分析力(包括主动力、约束力); (2)选取广义坐标并将各质点坐标 表示成广义坐标qa的函数: ; (3)求主动力的...

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