2024年圆的方程知识点及题型归纳总结VIP免费

圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆.二、基本性质、定理与公式1.圆的四种方程(ﻩ1)圆的标准方程：，圆心坐标为)a,b(，半径为)2）圆的一般方程:,圆心坐标为，半径（3(圆的直径式方程：若,则以线段AB为直径的圆的方程是（4）圆的参数方程:①的参数方程为)为参数）;②的参数方程为（为参数(.注对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为（为参数,)a,ｂ）为圆心，r为半径(,以减少变量的个数,建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题,然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断)１）点与圆的位置关系:①点P在圆外;②点P在圆上;③点P在圆内.)２）点与圆的位置关系:①点Ｐ在圆外；②点P在圆上;③点Ｐ在圆内.题型归纳及思路提示题型1求圆的方程思路提示（１(求圆的方程必须具备三个独立的条件,从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标)a,b(和半径r;从圆的一般方程来讲,必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.)2(用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上,半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等.例9.１７根据下列条件求圆的方程：)1(的三个顶点分别为A)-1,5(,B（-2,-2），C（５，5）,求其外接圆的方程;（２(经过点Ａ)6，５）,B)0,1(,且圆心在直线3x+10ｙ+９=0上;)3）经过点P（－２,4(，Q)3,-1(,且在x轴上截得的弦长等于6.分析根据待定系数法求出相应的量即可.解析（１）解法一：设所求圆的方程为，则由题意有,解得故所求圆的方程为解法二:由题意可求得ＡＣ的中垂线方程为ｘ＝2,BC的中垂线方程为x+y－３=０,所以圆心是两条中垂线的交点P)2,１），且半径所以所求圆的方程为即（2）AB的中垂线与AB垂直,则斜率ＡB的中点（3,3），则由点斜式可得，即线段AB的中垂线方程为３ｘ+2y-15=0由,解得,所以圆心为C)7,-3）,又故所求的圆的方程为)3）设圆的方程为，将点Ｐ,Ｑ的坐标分别代入，得,又令y=0,得.设是方程的两根，则由韦达定理有，由有，即解得或故所求圆的方程为或评注圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程．求圆的方程问题一般采用待定系数法,并有两种不同的选择，一般地，已知圆上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组(,解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地,确定一个圆需要三个独立的条件．变式１求过点A（6,0(,B)1,5(,且圆心在直线上的圆的方程.变式2在平面直角坐标系xOｙ中，曲线与坐标轴的交点都在圆Ｃ上,求圆C的方程例9.18已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线ｙ＝x截得的弦长为,求此圆的方程.分析求圆的标准方程,就是求中的a,b,r，可优先考虑待定系数法.解析解法一：设圆的方程为．由圆心在直线y=2x上,得b=2a（①）由圆在直线y=x上截得的弦长为，将ｙ=x代入，整理得由弦长公式,得即，化简得)②）由式①②可得或故所求圆的方程为或解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距,又弦心距等于圆心)ａ，b(到直线x-y=0的距离,即，又已知ｂ=2a,解得或故所求圆的方程为或评注注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式１求与x轴相切，圆心在直线3x-ｙ=0上,且被直线x－ｙ=0截得的弦长为的圆的方程例9.19圆关于直线２ｘ-y+３=0对称的圆的方程是（(A.Ｂ.C．ﻩﻩD.解析解法一：)推演法）将圆的方程化为标准方程,得圆心为)1,0(，半径为,设对称圆的圆心坐标为)ａ,b),则,得.故对称圆的方程是解法二：（排除法）将圆的方程化为标准方程,得,则对称圆的半径也应为,故排除选项A,Ｂ,在选项Ｃ中，圆心为)-3,2(，验证两圆圆心所在的直线的斜率为，与直线垂直.故选C评注根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题,半径保持不变.变式1若不同两点P,Ｑ的坐标分别为，，则线段PＱ的垂直平分线l的斜率为______＿_，圆关于直线l对称的圆的方程为＿_____题型２直线系方程和圆系方程思路提示求过两直线交点)两圆交点...