精品文档---下载后可任意编辑(考试时间:80 分钟 满分:120 分)姓名:_____________考试号:______________得分:____________一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)1.函数的最大值是_______2.青蛙在正六边形 ABCDEF 上 AD方式有____________种.3.设,则的最大值为 ___________4.设数列的前项和满足:,,则通项=______5.已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于 M,N 两点,且(为原点),当椭圆的离心率 e[, ]∈时,椭圆长轴长的取值范围是__________6.对于每个大于等于 2 的整数,令f (n)表示sin nx=sin x 在区间[0,π ]上不同解的个数,g(n)表示cos nx=cos x 在区间[0,π ]上不同解的个数,则∑n=22007( g(n)−f (n))=____________7.在平面直角坐标系中,定义点 P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为 d(P, Q)=|x1-x2|+|y1-y2|若 C(x, y)到点 A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等,其中实数 x, y 满足 0≤x≤10, 0≤y≤10,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度之和为_________8.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动,则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分)9.已知是实数, 二次函数满足,求证:-1 与 1 中至少有一个是的根.10.设,数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:对于一切正整数,.11.已知椭圆x22 + y2=1,过定点C(1,0)两条互相垂直的动直线分别椭交圆于P,Q两点。F1,F2分别为左右焦点,为坐标原点。(1)求向量|⃗PF1+⃗PF2|的最小值;(2)当向量⃗PF1+⃗PF2与⃗QF1+⃗QF 2互相垂直时,求P,Q两点所在直线的斜率。2024 年全国高中数学联赛模拟卷(3)加试(考试时间:150 分钟 满分:180 分)姓名:_____________考试号:______________得分:____________一、(本题满分 40 分)如图,C 为半圆弧的中点,点为直径 BA 延长线上一点,过作半圆的切线PD ,为切点,∠BPD 的平分线分别交AC ,BC 于点E, F .求证:以EF 为直径的圆过半圆的圆心O.二、(本题满分 40 分)已知 m,n 为正整数.(1) 用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x)m≥1+mx;(2) 对于 n≥6,已知,求证:(m=1,2, 3, …, n);(3) 求出满足等式 3n+4n+…+(n+2)n=(n+3)n的所有正整数 n.三、(本题满分 5...