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1.(本小题满分12分)已知等比数列na的前n项和为nS，11a，且1S，22S，33S成等差数列.（1）求数列{}na通项公式；（2）设nnban，求数列nb前n项和nT．1．(本题满分14分)解：（1）设数列na的公比为q，……………1分若1q，则111Sa，21244Sa，31399Sa，故13231022SSS，与已知矛盾，故1q，………………………………………………2分从而得1(1)111nnnaqqSqq，………………………………………………4分由1S，22S，33S成等差数列，得132322SSS，即321113411qqqq，解得13q……………………………………………5分所以11113nnnaaq.………………………………………………6分（2）由（１）得，11()3nnnbann，………………………………7分所以12(1)(2)()nnTaaan1(1)(1)(12)12nnbqnnSnq………………………………10分2111()(1)333.12213nnnnnn……………………………12分2．(本小题满分14分)如图5(1)中矩形ABCD中，已知2AB，22AD,MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60，如图5(2).（1）求证：BODO；（2）求AO与平面BOD所成角的正弦值.2(本题满分14分)解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN,BCMN,折叠垂直关系不变，所以∠AMD是平面ABNM与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，………………………………………………………………………………………………………２分由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=22,所以，BD=6，由题可知BO=OD=3，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO………………………………………………………………………………………5分解（２）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD,OFCD,所以，CD面OEF,OECD又BO=OD，所以OEBD,OE面ABCD,OE面BOD,平面BOD⊥平面ABCD过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH，……………………8分所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD所成角。……………………11分AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=233，BO=OD=3，所以sin∠AOH=23（14分）方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，…Q（0，0，0），B（62，0，0），D（0，22，2），O（0，22，1）OABDCMNABDCMNOABDCMNOHOABDCMNABDCMNOABDCMNOPQ所以BO�（62，22，1），DO�（0，2，1)所以BO�DO�0，即BO⊥DO（5分）（2）设平面BOD的法向量是(,,)nxyz，可得62x22y+z=02yz=0，令2y可得6,2xz所以(6,2,2)n又AO�（62，22，1)，设AO与平面BOD所成角为sincos,AOn�=23（14分）3．(本小题满分14分)有一个3×4×5的长方体,它的六个面上均涂上颜色.现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为.（１）求0的概率；（２）求的分布列和数学期望.3．(本题满分12分)（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个，61(0)6010P…（3分）（２）由（1）可知1(0)10P；11(1)30P；2(2)5P；2(3)15P…（7分）分布列0123p110113025215…（10分）E=0×110+1×1130+2×25+3×215=4730…（12分）图6BACP4．(本小题满分12分)在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中2c，且cos3cos1AbBa(1)求证：ABC是直角三角形；(2)如图6，设圆O过,,ABC三点，点P位于劣弧AC上，求PAC面积最大值.4．(本题满分14分)(1)证明：由正弦定理得cossincossinABBA，…………………………………2分整理为sincossincosAABB，即sin2sin2AB………………………3分又因为02,22AB∴22AB或22AB，即AB或2AB……………6分 31ba，∴AB舍去，故2AB由2AB可知2C，∴ABC是直角三角形……………6分(2)由(1)及2c，得1a，3b，……………...