精品文档---下载后可任意编辑总结拉格朗日中值定理的应用以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数讨论函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明，例如为利用导数推断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意义！拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、讨论函数在区间上的性质、估值问题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成 X，变形后观察法凑成 F’(X)，由此求出辅助函数 F(x)．如例 1.常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常用常数 k 值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分作为 k，即使常数部分分离出来并令其为 k，恒等变形使等式一端为 a 与 f(a)构成的代数式，另一端为 b 与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a 或 b)改为变量 x 移项即为辅助函数 f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定 k，一般来说，当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公式．如例 3.倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．如例 4。精品文档---下载后可任意编辑乘积因子法：对于某些要证明的结论，往往出现函数的导数与函数之间关系的证明，直接构造函数往往比较困难．将所证结论的两端都乘以或除以一个恒正或恒负的函数，证明的结论往往不受影响，(为常数)是常用的乘积凶子．如例 5.介值法：证明中，通过引入辅助函数 g(x)=f(x)-x 将原问题转化为(a,b)可导函数 g(x)的最大值或最小值至少有一个在必在内点达到，从而可通过 g(x)在（a,b）可导条件，直接运用费马定理，完成证明。如例 6。一拉格朗日中值定理证明（不）等式在不等...
