xOAByPMxmN精品文档---下载后可任意编辑1．（2024 年江西卷理科第 21 题）21．（本小题满分 12 分）1．证明：（1）设，由已知得到，且，，设切线的方程为：由得从而,解得因此的方程为：同理的方程为：又在上，所以，即点都在直线上又也在直线上,所以三点共线（2）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以 解得由 可得即为重心所在曲线方程2．（2024 年山东卷理科第 22 题）解：（Ⅰ）证明：由题意设．由得，得，所以，．因此直线的方程为，直线的方程为．所以，①．②由①、②得， 因此，即．所以三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当时，将其代入①、②并整理得：， ，所以是方程的两根，因此，，又，所以．由弦长公式得．又，所以或，因此所求抛物线方程为或．（Ⅲ）解：设，由题意得，精品文档---下载后可任意编辑则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得．若在抛物线上，则，因此或．即或．（1）当时，则，此时，点适合题意．（2）当，对于，此时，，又，，所以，即，矛盾．对于，因为，此时直线平行于轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的点．综上所述，仅存在一点适合题意．3．（2024 年江苏卷理科 19 题）解：（1）设过 C 点的直线为，所以，即，设 A，=，，因为，所以，即，所以，即所以（2）设过 Q 的切线为，，所以，即，它与的交点为 M，又，所以 Q，因为,所以，所以 M,所以点 M 和点 Q 重合，也就是 QA 为此抛物线的切线。（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知 Q，因为 PQ 轴，所以因为，所以 P 为 AB 的中点。4．（2024 年江西卷理科 22 题）解：（1）设切点 A、B 坐标分别为( x ,x02)和(x1, x12)(( x1≠x0)，∴切线 AP 的方程为：2 x0 x−y−x02=0;切线 BP 的方程为：2 x1 x−y−x12=0;解得 P 点的坐标为：xP=x0+x12, yP=x0 x1所以△APB 的重心 G 的坐标为，yG= y0+ y1+ y P3= x02+x12+ x0 x13=( x0+x1)2−x0 x13=4 xP2− y p3,所以y p=−3 yG+4 xG2，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：x−(−3 y+4 x2)−2=0,y即 =13 (4 x2−x+2).（2）方法 1：因为⃗FA=( x0, x02−14 ),⃗FP=(x0+ x12, x0 x1−14 ),⃗FB=( x1,x12−14 ).精品文档---下载后可任意编辑由于 P 点在抛物线外，则|⃗FP|≠0.∴cos∠ AFP= ⃗FP⋅⃗FA|...
