有限元方法及软件应用有限元平面问题

精品文档---下载后可任意编辑3．面力的移置设三角形单元某边界 s 上受面力 q 作用，重量为，，则{q }={qx q y }T取 ds 则{dR}={q }+ds由一般公式：{pe}=∫s[ N ]T {q }+ds 积分在边界 s 上以上三种载荷的等效节点荷载由公式 e 导出通常我们称：{{pe}e={N m}T {R }e{pe}e=∬A[N ]T {p}tdxd y{pe }e=∫s[ N ]T {q }tds 为荷载移量的一般公式：几点说明：1．虚功等效静力等效。[ N ]⇒唯一性2．一般{pe}e=[N m]T{R }e+∬A[ N ]T {P}tdx d y+∫s[N ]T {q }tds3．更多节点的单元公式形式不变，但[ N ] 不同4．虽然公式 e 导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的N 为 x,y 的函数，若 p, q 再为 x, y 的函数则更难，且单移分限不好定。因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。四． 三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标）1． 面积坐标的定义：图示三角形单元 I ,j ,k 中任意一点 m ，其位置可由 xoy 坐标系中两个坐标来确定，即 m(x,y)若我们连接,,,则形成了 3 个小三角形 ijm,ikm,jkm.则有：若 m(x,y)确定 ijm,ikm,jkm.面积确定。反之，ijm,ikm,m(x,y)确定（用同底等高的概念解释！！）因此，三角形单元内任一点可以{用直角坐标描述用三个三角形面积描述我们如何用三角形面积来描述 m 点的位置呢？定义：节点 I 对边为底的三角形面积为;节点 j 对边为底的三角形面积为;节点 k 对边为底的三角形面积为;设三角形单元的面积为 A令{Li= AiALJ= A jALK= AkA （2-37）则三个比值，，称为三角形单元中 m 点的面积坐标.2.三角形面积坐标的性质：1》面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为0≤Li, L j , Lk≤1 ；2》三个面积坐标之和：++=1.即只有两个面积坐标是独立的。（2-38）精品文档---下载后可任意编辑证明：++=AiA +A jA +AkA =1A （++）=1 （亦可几何解释）。3》三角形单元内与 jk 边平行的直线上各点相同（轮换）。（同底等高三角形=AiA ）4》形心处的面积坐标为： ===1/3 （2-39）5》三角形单元节点的面积坐标为：{节点i : Li=1, Lj=0, Lk=0节点 j: Li=0, Lj=1,Lk=0节点k : Li=0, Lj=0, LK=1 （2-40）证：节点 I: =A.==0.下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系：设 m 点的坐标为 m(x,y),m 为任一点则：=12|1xy1x jy j1xkyk|=12 （xy j+x j y k+xk y−xy k−x...