离散型随机变量的均值与方差【学习目标】1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；2.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望1.定义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为……P……则称……为的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．2．性质：①；②若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，有；的推导过程如下：：的分布列为…………P……于是……＝……)……)＝∴。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数＋＋…＋叫做这组数据的方差。2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为……P……则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望．的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．要点诠释：⑴随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：4.方差的性质：若(a、b是常数)，是随机变量，则也是随机变量，；要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则期望方差证明： ,,,∴2、二项分布：若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则期望方差期望公式证明： ，∴，又 ，∴＋＋…＋＋…＋．3、几何分布：独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。若离散型随机变量服从几何分布，且则期望方差要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则期望要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用1、求离散型随机变量的期望、方差、标准差的基本步骤：①理解的意义，写出可能取的全部值；②求取各个值的概率，写出分布列；……P……③根据分布列，由期望、方差的定义求出、、：.注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可．2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用①离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；②随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。③对于两个随机变量和，当需要了解他们的平均水平时，可比较和的大小。④和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较和，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．【典型例题】类型一、离散型随机变量的期望例1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________．【思路点拨】分布列中含有字母x、y,应先根据分布列的性质，求出x、y的值，再利用期望的定义求解；【解析】x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.【总结升华】求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，举一反三：【变式1】某一离散型随机变量ξ的概率分布如下，且E（ξ）=1.5，则a－b为（）．ξ0123P0.1a...
