精品文档---下载后可任意编辑内容提要稳定性是系统的又一重要特性。所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。显然，稳定性是系统的一个动态属性。在控制理论和控制工程中，无论是调节器理论、观测器理论还是滤波预测、自适应理论，都不可避开的要遇到系统稳定性问题。稳定性问题一直是一个最基本的和最重要的问题。随着控制理论与控制工程所涉及的领域由线性时不变系统扩展为时变系统和非线性系统，稳定性分析的复杂程度也在急剧的增长。直到目前，虽然有许多判据可应用于线性时不变系统或其它各自相应类型的问题中，以推断系统稳定情况，但能同时有效地适用于线性、非线性、定常、时变等各类系统的方法，则是俄国数学家李雅普诺夫(Lyaponov)在 19 世纪所提出的方法。这就是控制系统稳定性分析的李雅普诺夫方法。李雅普诺夫稳定性理论是稳定性分析、应用与讨论的最重要基础。习题与解答5.1 推断下列函数的正定性 1) 2) 3) 4) 5) 解 1) , 因为顺序主子式 所以，为正定函数。 2) , 因为主子式 所以不定，为不定函数。 3) , 因为顺序主子式 所以为不定矩阵，为不定函数。 4) , 因为顺序主子式 所以，为正定函数。 5) , 因为顺序主子式 精品文档---下载后可任意编辑所以，为正定函数。 □5.2 用李雅普诺夫第一方法判定下列系统在平衡状态的稳定性。 解 解方程组 得三个孤立平衡点（0，0），（1，－1）和（－1，1）。在（0，0）处将系统近似线性化，得，由于原系统为定常系统，且矩阵的特征根均具有负实部，于是根据李雅普诺夫定理可知系统在原点（0，0）附近一致渐近稳定。在（1，－1）和（－1，1）处将系统近似线性化，得，由于矩阵的特征根，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）附近不稳定。在（－1，1）处将系统近似线性化，得，由于原系统为定常系统，且矩阵的特征根，根据李雅普诺夫定理可知系统在点（1，－1）和点（－1，1）附近不稳定。该题求解时往往容易忽略平衡点（1，－1）和（－1，1）。 □5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理推断下列系统在平衡状态的稳定性。 解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用第一方法比较合适。经计算知矩阵的特征根为，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。 对于线性系统关于稳定性的结果是大范围的全局性结果。5.4 设线性离散时间系统为试求在平衡状态系统渐近稳定的值范围。 解 ...
